Esercizio parametrizzazione di una superficie

[andreadel1988]

Sia $\varphi: (0,+infty)xx(0,2pi)->RR^3$ con $\varphi(r, \theta)=(rcos(\theta),rsin(\theta),\theta)$ e $S$ l'immagine di $\varphi$.

(a) Mostrare che $S$ è una superficie e $\varphi$ è una sua parametrizzazione.

(b) Calcolare la prima e la seconda forma fondamentale associata alla parametrizzazione data.

(c) Calcolare la curvatura gaussiana di $S$ in ogni suo punto.

Io ho fatto così:
(a) Mostriamo che $\varphi$ è una parametrizzazione: $\varphi$ è un omeomorfismo con la sua immagine infatti ammette inversa continua (anche $\varphi$ è continua) $\varphi^-1(x,y,z)=(sqrt(x^2+y^2),z)$, inoltre $\varphi$ è differenziabile e $d \varphi(r,\theta)=((cos(\theta),-rsin(\theta)),(sin(\theta),rcos(\theta)),(0,1))$ e se consideriamo il primo minore principale $2xx2$ ha determinante $r$ che è diverso da $0$. Quinidi $\varphi$ è una parametrizzazione, ma è globale poichè $S=Im\varphi$, quindi $AAp in S$ considero $RR^3$ come intorno aperto di $p$ in $RR^3$ con la parametrizzazione data $\varphi: (0,+infty)xx(0,2pi)->SnnRR^3=S$, per cui $S$ è una superficie.

(b) Abbiamo che $(del\varphi)/(delr)=(cos(\theta),sin(\theta),0)$ e $(del\varphi)/(del\theta)=(-rsin(\theta),rcos(\theta),1)$, per cui $E=<(del\varphi)/(delr),(del\varphi)/(delr)> =1$
$F=<(del\varphi)/(del\theta),(del\varphi)/(delr)> =0$
$G=<(del\varphi)/(del\theta),(del\varphi)/(del\theta)> =r^2+1$
Poi abbiamo $N=((delvarphi)/(delr) \wedge (delvarphi)/(deltheta))/(||(delvarphi)/(delr) \wedge (delvarphi)/(deltheta)||)=((sin(\theta)/sqrt(r^2+1)),(cos(\theta)/sqrt(r^2+1)),(r/sqrt(r^2+1)))$, per cui:
$e=<N,(del^2varphi)/(deltheta^2)> =0$
$f=<N,(del^2varphi)/(delthetadelr)> =-1/sqrt(r^2+1)$
$g=<N,(del^2varphi)/(delr^2)> =0$
(c) $K(\varphi(r,\theta))=(eg-f^2)/(EG-F^2)=-1/(r^2+1)^2$

Può andare bene?