Ker e Im di un Omomorfismo

[Llep]

Buonasera,
non riesco a concludere la risoluzione dell'esercizio qui riportato:

$ varphi : R^3 -> R^3 $
$ varphi (x,y,z)=(2x-y+z,x+2y-3z,x-3y+4z) $
Determinare una base di Ker e Im.

Per il Ker ho messo le tre condizioni a sistema trovando le soluzioni $y=7/5z$ e $x=z/5$, poi non so più andare avanti...un vettore sarebbe ($z/5,(7z)/5,z$) che è semplificabile come (1,7,5)?

Per quanto riguarda Im invece mi blocco alla partenza.

Come posso proseguire?

[pilloeffe]

Ciao Llep,

Benvenuto sul forum!

Lo riscrivo meglio per averlo sott'occhio:

$\varphi : \RR^3 \rightarrow \RR^3$

$\varphi(x, y, z) = (2x-y+z,x+2y-3z,x-3y+4z) $

un vettore sarebbe $(z/5,7z/5,z)$ che è semplificabile come (1,7,5)?

Sì, però ti conviene assumere come parametro $x = t $ e trovi più facilmente $(t, 7t, 5t) = t(1, 7, 5) $
Dunque una base del nucleo è $(1, 7, 5) $ e $ dim[\text{Ker}(\varphi)] = 1 $

Per la dimensione e la base dell'immagine scriviamo la matrice associata a $\varphi $ rispetto alla base canonica di $\RR^3 $
Tale matrice, che indichiamo con $A_{\varphi}$, ha per colonne le immagini tramite $\varphi $ dei vettori
$ \mathbf{i} = (1, 0, 0) $, $ \mathbf{j} = (0, 1, 0) $, $ \mathbf{k} = (0, 0, 1) $:

Moderatore: j18eos

Testo oscurato per dare la possibilità all'OP di ragionare.

Testo visibile solo ai moderatori e all'autore del post

[Llep]

Ok, grazie...allora provo a procedere con il ragionamento.
La matrice la scrivo così
\(A= \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 1 & -3 & 4 \end{pmatrix} \)
e ho notato che le righe sono correlate dalla relazione: I = II + III quindi svolgendo queste semplificazioni arrivo ad avere una riga di 0.
Ma mi blocco al questo punto:
\( \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & -3 & 4 \end{pmatrix} \)

Mi sembra di capire che dovrei trovare solo un vettore per definire la base ma non saprei scegliere...

[j18eos]

Di sicuro sai che la matrice ha rango \(2\): cosa puoi affermare?

Ancóra, poiché hai inserito i vettori immagine per colonna, devi ragionare per colonne!, ovvero: con quale mossa di Gauss puoi "eliminare" una colonna? ...e sei sicuro che ti serva una tale mossa?