Problema con fascio di piani

[ZfreS]

Ho questo esercizio: determinare i piani contenenti la retta r: ${\(x-3=0),(2y-z+1=0):}$ che formano un angolo di $pi/4$ con il piano $pi: y-z=0$.

Io ho pensato di scrivere il fascio per la retta come $h(x-3)+k(2y-z+1)=0$. La normale alla retta scritta sopra è $n_r(0,1,2)$ e la normale al piano $pi$ è $n_(pi)=(0,1,-1)$. Ma come impongo che formi l'angolo di $pi/4$.
Vi chiedo se mi potete suggerire qualcosa

[sellacollesella]

Determinare i piani contenenti la retta r: $ {\(x-3=0),(2y-z+1=0):} $ che formano un angolo di $ pi/4 $ con il piano $ pi: y-z=0 $.

Ok.

Io ho pensato di scrivere il fascio per la retta come $ h(x-3)+k(2y-z+1)=0 $.

Ok, ma occorre sempre specificare \((h,k) \ne (0,0)\).

La normale alla retta scritta sopra è $ n_r(0,1,2) $.

No, qui hai calcolato la direzione di r invece che la normale ai piani del fascio.

La normale al piano $ pi $ è $ n_(pi)=(0,1,-1) $.

Ok.

Ma come impongo che formi l'angolo di $ pi/4 $.

L'angolo \(0\le\alpha\le\pi\) tra due vettori non nulli è tale che \(\vec{u}\cdot\vec{v}=||\vec{u}||\,||\vec{v}||\cos\alpha\).

[ZfreS]

L'angolo \(0\le\alpha\le\pi\) tra due vettori non nulli è tale che \(\vec{u}\cdot\vec{v}=||\vec{u}||\,||\vec{v}||\cos\alpha\).

Ok, ma a $pi/4$ il coseno vale $sqrt(2)/2$, ma da ciò cosa ottengo? Non ho valori parametrici da ricavare

[sellacollesella]

Non ho valori parametrici da ricavare.

L'equazione risolvente è: \[
\vec{u}\cdot\vec{v}=||\vec{u}||\,||\vec{v}||\cos\alpha
\] dove:

• \(\vec{u}\) è un vettore normale ai piani del fascio, che dipenderà da \(h\) e \(k\);
  
  
• \(\vec{v}\) è un vettore normale al piano \(\pi\), che hai già calcolato;
  
  
• \(\alpha\) è l'angolo convesso tra \(\vec{u}\) e \(\vec{v}\), che è imposto dall'esercizio.

[ZfreS]

Scusami, ma continuo a non capire. Il vettore $u$ non è $n_(pi)$ ? In che modo dovrebbe dipendere da $h$ e $k$?

[sellacollesella]

Scusa se insisto, ma tocca ripetere quanto già scritto:

• \(\vec{u}=\vec{n}_{\text{piani fascio}}\), che non hai ancora calcolato;
  
  
• \(\vec{v}=\vec{n}_{\text{piano}\,\pi}\), che hai già calcolato correttamente.

Insomma, eri partito alla grande scrivendo il fascio di piani tramite i parametri \(h\) e \(k\), poi però lo hai abbandonato ed ora necessita di tue attenzioni. Dai che sei ad un passo dalla soluzione, forza!

[ZfreS]

Ok, forse ho capito. La normale al fascio dei piani dovrebbe essere, in funzione di h e k il vettore $(h, 2k, -k)$.
Il problema è che devo trovare sia h che k, ma ho solo l'equazione del prodotto scalare

[sellacollesella]

La normale al fascio dei piani dovrebbe essere, in funzione di h e k il vettore $(h, 2k, -k)$.

Esatto, dove, mi raccomando, scrivi sempre \((h,k) \ne (0,0)\) (il nostro prof. toglieva punti altrimenti).

Il problema è che devo trovare sia h che k, ma ho solo l'equazione del prodotto scalare.

A noi basta trovare una relazione tra \(h\) e \(k\), ad esempio \(h = \sqrt{5}\,k\), che sostituita nel fascio di piani ci permetterà di rispondere al quesito in quanto, poi, essendo \(k \ne 0\), potrà essere semplificata. Provaci.

[ZfreS]

Ok, allora così facendo ho trovato che $h=+-2k$ da cui derivano due fasci ovvero
$2k(x-3)+k(2y-z+1)=0$ e $-2k(x-3)+k(2y-z+1)=0$. Supposto $k!=0$ si potrebbe anche dividere per k, ma così verrebbe un po a mancare il senso del fascio

[sellacollesella]

Ok, allora così facendo ho trovato che $h=+-2k$

Ok.

da cui derivano due fasci

No, in tal modo stiamo selezionando due piani dell'unico fascio considerato.

Infatti, essendo \(k \ne 0\):

$2k(x-3)+k(2y-z+1)=0$

equivale a \(k (2 x + 2 y - z - 5) = 0\), che equivale a \(2 x + 2 y - z - 5 = 0\).

$-2k(x-3)+k(2y-z+1)=0$

equivale a \(-k (2 x - 2 y + z - 7)=0\), che equivale a \(2 x - 2 y + z - 7 = 0\).


In conclusione, tra gli infiniti piani appartenenti al fascio: \[
h(x-3)+k(2y-z+1)=0,
\quad \quad \text{con} \; (h,k) \ne (0,0)
\] gli unici due che formano un angolo di \(\pi/4\) radianti con il piano: \[
\pi\,:\, y - z = 0
\] risultano essere: \[
2 x + 2 y - z - 5 = 0, \quad \quad \quad 2 x - 2 y + z - 7 = 0.
\] Fine dell'esercizio.