Dipendenza lineare e rango di una matrice

[HowardRoark]

Ho una domanda, forse un po' banale, riguardo l'indipendenza lineare e il rango di una matrice. Dalle dispense su cui ho studiato c'è scritto che, dati $v_1,v_2,...,v_n$ vettori e considerata la matrice associata $A$, avente i vettori dati come vettori colonna, $v_1,v_2,...,v_n$ sono linearmente indipendenti $<=> r(A)=n$.
Ma se io considero 4 vettori di tre componenti, ad esempio $v_1=(x,y,z), v_2=(x_2,y_2,z_2), v_3=(x_3,y_3,z_3), v_4=(x_4,y_4,z_4)$ e la relativa matrice dei vettori $((x,x_2,x_3,x_4), (y,y_2,y_3,y_4), (z,z_2,z_3,z_4))$, questa può avere rango al massimo $3$. Quindi immagino che la caratterizzazione di sopra valga se $n<=m$, dove $n$ è il numero di vettori e $m$ il numero delle componenti vettoriali, e quindi il generico vettore sarebbe $v_i=(x_1,x_2,...,x_n,...,x_m)$. E' corretto?

[sellacollesella]

Dati $ v_1,v_2,...,v_n $ vettori e considerata la matrice associata $ A $, avente i vettori dati come vettori colonna, $ v_1,v_2,...,v_n $ sono linearmente indipendenti $ <=> r(A)=n $.

Giusto.

Ma se io considero 4 vettori di tre componenti, ad esempio $ v_1=(x,y,z), v_2=(x_2,y_2,z_2), v_3=(x_3,y_3,z_3), v_4=(x_4,y_4,z_4) $ e la relativa matrice dei vettori $ ((x,x_2,x_3,x_4), (y,y_2,y_3,y_4), (z,z_2,z_3,z_4)) $, questa può avere rango al massimo $ 3 $.

Esatto, quindi quei vettori sono sicuramente linearmente dipendenti tra loro, fine.

[HowardRoark]

quindi quei vettori sono sicuramente linearmente dipendenti tra loro, fine.

Perché?
Cioè il fatto di non poter avere 4 vettori di 3 componenti tutti linearmente indipendenti mi sembra un risultato interessante. Perché esiste sempre una combinazione lineare nulla a coefficienti non tutti nulli?
Io so che tutti i vettori di $RR^3$ sono generati da questi: $v_1(1,0,0)$, $v_2(0,1,0)$ e $v_3(0,0,1)$ e questi ultimi sono ovviamenti tutti linearmente indipendenti. Quindi almeno 2 di quei 4 vettori di 3 componenti li posso generare dallo stesso vettore generatrice, e questo potrebbe significare che siano linearmente dipendenti. Il ragionamento è questo?

[sellacollesella]

Perché?

Perché \(\rho_{\max}(A) = 3 < n = 4\).

[HowardRoark]

Perché?

Perché \(\rho_{\max}(A) = 3 < n = 4\).

Ma se io definisco il rango di una matrice come l'ordine massimo di minori non nulli, quello che hai scritto dovresti dimostrarlo. E' come dire "un triangolo è isoscele se e solo se ha due angoli congruenti": se io prendo la definizione di triangolo isoscele come triangolo con due lati congruenti, la prima definizione che ho scritto dovrei dimostrarla.

[sellacollesella]

Qualsiasi matrice \(A\) con \(m\) righe ed \(n\) colonne ha rango tale che: \[
0 \le \text{rk}(A) \le \min(m,n).
\] Questa è praticamente la lezione zero di algebra lineare sul rango di una matrice.

Ora, secondo il teorema che hai riportato, affinché \(n\) vettori colonna siano linearmente indipendenti deve tassativamente risultare \(\text{rk}(A)=n\). Ma ogni qual volta sia \(m < n\) ciò è impossibile per quanto appena scritto, quindi non c'è scampo: gli \(n\) vettori saranno sempre e comunque linearmente dipendenti tra loro.

Naturalmente, questo non vuol dire che tale teorema non valga per \(m<n\), piuttosto si banalizza.

[HowardRoark]

Qualsiasi matrice \(A\) con \(m\) righe ed \(n\) colonne ha rango tale che: \[
0 \le \text{rk}(A) \le \min(m,n).
\]

E questo è chiaro, se io definisco il rango come l'ordine massimo dei minori non nulli della matrice.

Ora, secondo il teorema che hai riportato, affinché \(n\) vettori colonna siano linearmente indipendenti deve tassativamente risultare \(\text{rk}(A)=n\).

Questo è il passaggio che mi sfugge. Secondo il teorema è così ma non riesco a capirne bene il motivo.

Questa è praticamente la lezione zero di algebra lineare sul rango di una matrice

.
Ci tengo a specificare che io non ho dato alcun esame di algebra lineare; piuttosto ho sostenuto un esame di matematica dove c'erano alcune nozioni di algebra lineare, ma le abbiamo liquidate nel giro di 4 lezioni e non abbiamo dimostrato praticamente nulla di quanto detto, per questo ho le idee molto confuse. Abbi pazienza se scrivo cose che per te sono banalità

[axpgn]

http://linear.ups.edu/html/section-LI.html

[sellacollesella]

Anche la mia preparazione in algebra è scandalosamente infima, dato che io studio ingegneria e non matematica all'università, non immagino nemmeno il voltastomaco di matematici di primo livello come megas_archon, Martino, j18eos, ...¹ nel leggere le mie risposte poco più che improvvisate!

D'altro canto, se mi fossi fermato allo studio delle dispense del mio primo e unico esame circa questi concetti, ossia "Geometria e Algebra Lineare" sostenuto al primo anno, probabilmente non sarei nemmeno qui a scrivere, dato che erano a dir poco fatiscenti, un colabrodo di concetti uno più sconclusionato dell'altro.²

Invece, se qualcosa negli anni l'ho imparato è grazie ad aver studiato su dei libri che mi hanno aiutato a comprendere qualcosina in modo organico, partendo dai concetti base e pian pianino addentrandomi in concetti un pochetto più articolati; ma comunque sempre coerenti con il mio percorso di studi, ossia che abbiano una applicazione pratica quasi immediata, altrimenti il mio cervello mi abbandona!


Nella fattispecie, si dice che \(n\) vettori \(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\dots,\mathbf{v}_n\) di uno spazio vettoriale \(V\) su un campo \(\mathbb{K}\) sono linearmente indipendenti tra loro se prendendo \(n\) scalari \(c_1,c_2,\dots,c_n \in \mathbb{K}\) l'uguaglianza \(c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2+\dots+c_n\mathbf{v}_n=\mathbf{0}\) risulta soddisfatta se e solo se \(c_1=c_2=\dots=c_n=0\).

Questa è la definizione nuda e cruda, che di per sé non necessita dell'utilizzo di matrici o affini.


Pertanto, se prendiamo in considerazione un esempio simile a quello che hai proposto, ossia: \[
\mathbf{v}_1=(1,2,3),
\quad
\mathbf{v}_2=(4,5,6),
\quad
\mathbf{v}_3=(7,8,9),
\quad
\mathbf{v}_4=(10,11,12)
\] è sufficiente osservare che, ad esempio: \[
(0)\mathbf{v}_1 + (1)\mathbf{v}_2 + (-2)\mathbf{v}_3 + (1)\mathbf{v}_4 = \mathbf{0}
\] per asserire che i quattro vettori di \(\mathbb{R}^3\) considerati sono linearmente dipendenti tra loro. Fine.


D'altro canto, perlomeno a degli aspiranti ingegneri come me, piace molto <<agitare le mani>> (cit.), ossia necessitiamo di uno strumento che automatizzi tale processo, altrimenti in casi più difficili andiamo in panico e la questione si chiude malamente. È per tal motivo che la suddetta uguaglianza si è soliti scriverla come: \[
A\begin{bmatrix}
c_1 \\
c_2 \\
\dots \\
c_n
\end{bmatrix}
=\mathbf{0}
\] e si richiede che l'unica soluzione di tale sistema lineare sia quella banale, ossa \(c_1=c_2=\dots=c_n=0\).

In tal modo la faccenda è presto risolta in quanto, per il teorema di Rouché-Capelli, ciò accade se e solo se: \[
\text{rk}(A|\mathbf{0}) = \text{rk}(A) = n
\] e dato che l'uguaglianza \(\text{rk}(A|\mathbf{0}) = \text{rk}(A)\) è sempre vera ci si riduce a richiedere: \[
\text{rk}(A) = n
\] che è esattamente quanto asserito dal corollario riportato nelle tue dispense.


Va da sé che per capire il perché ciò sia vero tocca passare per la dimostrazione del suddetto teorema e su questo io non ci metto becco, dato che sono questioni puramente teoriche che vanno affrontate su fonti di comprovata validità (libri in primis o pagine internet scritte a regola d'arte come quella linkata da axpgn).

È per tal motivo che davo per scontato che fosse assodato tale corollario, che lo avessi capito. Pertanto, considerando che per ogni matrice \(A\) con \(m\) righe ed \(n\) colonne si ha \(0 \le \text{rk}(A) \le \min(m,n)\), ogni qual volta si ha \(m < n\) allora sicuramente \(\text{rk}(A)<n\), quindi gli \(n\) vettori sono linearmente dipendenti tra loro.

Purtroppo oltre io non so andare, aspetta l'aiuto di qualche esperto che qui nel forum c'è di sicuro.

---

Note

1. axpgn non ho ancora capito che lavoro faccia o abbia fatto, ma è sicuramente più qualificato di me. ↑
2. Non per incapacità del docente, bensì perché rivolte ad una platea di scimmie di cui facevo parte. ↑

[gabriella127]

Purtroppo oltre io non so andare, aspetta l'aiuto di qualche esperto che qui nel forum c'è di sicuro.

Spiacente deludervi, forse vi aspettavate qualche esperto migliore di me, ma questo passa il convento

quindi quei vettori sono sicuramente linearmente dipendenti tra loro, fine.

Perché?
Cioè il fatto di non poter avere 4 vettori di 3 componenti tutti linearmente indipendenti mi sembra un risultato interessante.

Non solo è interessante, ma è basilare. Suona come se uno dicesse: ho sentito di un certo Teorema di Pitagora, mi pare interessante

Scusa, scherzo, per sottolinearlo: la tua osservazione è acuta, e si riferisce a un concetto fondamentale e teoremi connessi, che bisogna andare a rivedere nella teoria, se non li hai fatti (mi sa che è colpa dei maledetti economisti ), il concetto di base di uno spazio vettoriale:

Ti faccio una carrellata sommaria, giusto per darti un’idea della logica della questione, ovviamente va studiato, volendo, per esteso su un libro.

Credo che ricordi la definizione di base, comunque la riporto per comodità:

Definizione. Base. Sia $V$ uno spazio vettoriale. Un insieme¹ $B=\{v_1, …v_n\}$ di vettori di $V$ è una base di $V$ se:

1) $V=Span (v_1, …v_n)$, cioè $v_1, …v_n$ sono un sistema di generatori di $V$.
2) $v_1, …v_n$ sono linearmente indipendenti.

Span o sistema di generatori vuol dire che ogni vettore dello spazio può essere scritto come loro combinazione lineare.


Dopodiché ci sono altri teoremi, che salto, che consentono la definizione di dimensione di uno spazio vettoriale come il numero di vettori che compongono una base.

Dopodiché si dimostra

1) Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $n$. Allora ogni $n$-pla di vettori linearmente indipendente è una base.

2) la dimensione di uno spazio vettoriale $V$ è il numero massimo di vettori linearmente indipendenti in $V$. Detto in altri termini:
Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $n$, e $w_1, ..., w_p \in V$. Se $p>n$ , allora $w_1, ..., w_p $ sono linearmente dipendenti.

Il punto $2)$ è quello che ci interessa per la questione del rango di una matrice: in uno spazio vettoriale di dimensione $n$ puoi prendere al più $n$ vettori linearmente indipendenti, se ce ne aggiungi un altro hai un insieme di vettori linearmente dipendente.

Quindi, nella tua matrice che hai scritto sopra, hai vettori di tre elementi, cioè vettori di $\mathbb{R}^3$, che ha dimensione $3$.
Quindi più di $3$ vettori linearmente indipendenti in $\mathbb{R}^3$ non puoi avere. Quattro o più vettori saranno sempre linearmente dipendenti.

Quindi, come magia, vedi perché il rango della matrice non può essere maggiore del minimo tra il numero di righe e il numero di colonne.
$$***$$
La dimostrazione del punto $2)$ è abbastanza semplice:
Prendiamo i primi $n$ ($n$ è la dimensione dello spzio) vettori, $w_1,…w_n$. Se sono linearmente dipendenti abbiamo finito.
Altrimenti, per il punto $1$ sono una base.
Ma allora ogni vettore $w_(n+1), …w_p$ può essere scritto come combinazione lineare dei vettori della base $ w_1, …, w_n$, e quindi i vettori $w_1,…w_n, w_(n+1), …w_p$ sono linearmente dipendenti.
Infatti:
essendo una base un insieme di generatori si può scrivere, per qualsiasi $w_i$ con $i=n+1, ..., p$

$w_i= \alpha_1 w_1+...+\ alpha_n w_n$.

Quindi si ha

$w_i- \alpha_1 w_1-...-\ alpha_n w_n=0$,

che è un relazione di dipendenza lineare tra $w_i, w_1, ...w_n$.
(nota che il coefficiente di $w_i$ è $1$, che non è nullo).

---

Note

1. Per la precisione, alcuni libri parlano non di insieme ma di successioni di vettori $v_1, ..,v_n$, cioè conta pure l’ordine, a seconda dell’ordine si parla di una base diversa. Ma per un insieme finito di vettori la proprietà di formare una base è indipendente dall’ordine dei vettori, e altri libri non fanno questa distinzione. Si parla per lo più di spazi di dimensione finita (se hai curiosità, vedi il libro di Algebra lineare di Manetti, che tende in genere a essere più ‘sofistico’ nelle distinzioni. Ma da sconsigliare come libro basic.) ↑