Dipendenza lineare e rango di una matrice

[HowardRoark]

Credo che ricordi la definizione di base, comunque la riporto per comodità:

No perché a lezione non l'abbiamo proprio vista. Forse se non capisco bene la teoria è perché in questa materia ho proprio i buchi neri in testa, quindi non me ne faccio nemmeno un cruccio

Definizione. Base. Sia $V$ uno spazio vettoriale. Un insieme $B=\{v_1, …v_n\}$ di vettori di $V$ è una base di $V$ se:

1) $V=Span (v_1, …v_n)$, cioè $v_1, …v_n$ sono un sistema di generatori di $V$.
2) $v_1, …v_n$ sono linearmente indipendenti.

Span o sistema di generatori vuol dire che ogni vettore dello spazio può essere scritto come loro combinazione lineare.

Ignoravo cosa fosse uno span, ti ringrazio di averlo riportato.

1) Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $n$. Allora ogni $n$-pla di vettori linearmente indipendente è una base.

Quindi perché aggiungere il concetto di span? Se basta la lineare indipendenza a definire una base perché non utilizzare solo quella?

2) la dimensione di uno spazio vettoriale $V$ è il numero massimo di vettori linearmente indipendenti in $V$. Detto in altri termini:
Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $n$, e $w_1, ..., w_p \in V$. Se $p>n$ , allora $w_1, ..., w_p $ sono linearmente dipendenti.

Questo è il punto cruciale di questo thread .

La dimostrazione del punto $2)$ è abbastanza semplice:
Prendiamo i primi $n$ ($n$ è la dimensione dello spzio) vettori, $w_1,…w_n$. Se sono linearmente dipendenti abbiamo finito.
Altrimenti, per il punto $1$ sono una base.

Secondo me per essere proprio rigorosi andrebbe dimostrato anche il punto 1, che a me comunque sembra abbastanza intuitivo, però non voglio allungare troppo questo thread, perché è evidente che mi manchino molti pezzi di teoria (d'altronde algebra lineare non l'ho praticamente studiata, ho solo visto poche nozioni in un esame chiamato "matematica generale", che era da 9 crediti e comprendeva anche la parte di "analisi"), che ora purtroppo non ho assolutamente il tempo di colmare.

Ti ringrazio comunque per la risposta dettagliata, l'ho apprezzata molto!

[HowardRoark]

Nella fattispecie, si dice che \(n\) vettori \(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\dots,\mathbf{v}_n\) di uno spazio vettoriale \(V\) su un campo \(\mathbb{K}\) sono linearmente indipendenti tra loro se prendendo \(n\) scalari \(c_1,c_2,\dots,c_n \in \mathbb{K}\) l'uguaglianza \(c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2+\dots+c_n\mathbf{v}_n=\mathbf{0}\) risulta soddisfatta se e solo se \(c_1=c_2=\dots=c_n=0\).

Non so bene cosa sia un campo e posso solo intuire cosa sia uno spazio vettoriale, ma oltre questo la definizione è chiarissima.

Pertanto, se prendiamo in considerazione un esempio simile a quello che hai proposto, ossia: \[
\mathbf{v}_1=(1,2,3),
\quad
\mathbf{v}_2=(4,5,6),
\quad
\mathbf{v}_3=(7,8,9),
\quad
\mathbf{v}_4=(10,11,12)
\] è sufficiente osservare che, ad esempio: \[
(0)\mathbf{v}_1 + (1)\mathbf{v}_2 + (-2)\mathbf{v}_3 + (1)\mathbf{v}_4 = \mathbf{0}
\] per asserire che i quattro vettori di \(\mathbb{R}^3\) considerati sono linearmente dipendenti tra loro. Fine.

Vero, però è un esempio specifico ed io all'inizio speravo di capire perché fosse vero in generale.

\[
A\begin{bmatrix}
c_1 \\
c_2 \\
\dots \\
c_n
\end{bmatrix}
=\mathbf{0}
\] e si richiede che l'unica soluzione di tale sistema lineare sia quella banale, ossa \(c_1=c_2=\dots=c_n=0\).

In tal modo la faccenda è presto risolta in quanto, per il teorema di Rouché-Capelli, ciò accade se e solo se: \[
\text{rk}(A|\mathbf{0}) = \text{rk}(A) = n
\] e dato che l'uguaglianza \(\text{rk}(A|\mathbf{0}) = \text{rk}(A)\) è sempre vera ci si riduce a richiedere: \[
\text{rk}(A) = n
\] che è esattamente quanto asserito dal corollario riportato nelle tue dispense.

Ero a conoscenza di queste nozioni, però sinceramente non riuscivo a capire perché, ad esempio, il fatto che su $RR^3$ non ci possano essere più di 3 vettori linearmente indipendenti ne fosse un corollario.

Va da sé che per capire il perché ciò sia vero tocca passare per la dimostrazione del suddetto teorema e su questo io non ci metto becco

Hai già fatto moltissimo, ti ringrazio per questo e per gli altri interventi sui miei altri thread. Continuerò a postare qualora dovessi avere ancora dubbi su qualcosa (e me ne verranno sicuramente molti): quello che riesco a capire capisco altrimenti rimanderò l'approfondimento di certe questioni nel futuro prossimo, perché ora purtroppo mi manca proprio il tempo di farlo.

[gabriella127]

Certo che va dimostrato anche il punto 1, va dimostrato e definito tutto per bene, ma ci vuole un libro, mica so' due paginette! Io ho dato giusto qualche indicazione sintetica per darti il senso di come possono funzionare le cose, ma è teoria, cose impicciose, da studiare con calma.

Vedo quindi che di teoria non hai fatto proprio niente, se non ti hanno fatto fare cos'è una base, concetto fondamentale. Vuol dire che di teoria vi hanno insegnato tra lo $0$ e il sottozero. Sì, è possibile anche il sottozero , cioè insegnare cose tali che dopo uno ha le idee più confuse che se non avesse fatto niente.

C'è un lato di scherzo, ma io per economia ci sono passata, quindi so che di algebra lineare si fa poco o niente, ma per un fatto pratico.
Da punto di vista pratico in effetti al momento veramente di algebra lineare serve poco, più che altro ti servirà per econometria, ma là si tratta soprattutto di saper manipolare le matrici, la notazione può essere pesante, ma teoria di algebra lineare al momento molto poco.

Per quanto riguarda lo span, eccerto che ci vuole, nella definizione di base sopra, se consideri solo un insieme arbitrario di vettori linearmente indipendenti non è detto che generino (con le combinazioni lineari) tutto lo spazio, ogni vettore dello spazio deve essere esprimibile come combinazione lineare della base in considerazione.
Span viene proprio da to span, coprire, abbracciare, estendersi su, come sostantivo ciò che viene abbracciato, l'estensione.
Quello che c'è dopo è un teorema dato in base alla definizione.


Ma sono cose che non si possono spiegare in due parole.
Ma al momento, a meno che tu non abbia un interesse specifico personale, non te ne preoccupare.
Tieni presente solo che quello che stai facendo di algebra lineare è un lato pratico che può servire per altre materie, ma nulla di più.

[edit] Ora noto che non hai fatto nemmeno la definizione di spazio vettoriale, quindi, niente, lascia stare la teoria.
La definizione di spazio vettoriale è una definizione algebrica astratta: un insieme $V$ parapà parapà, si dice spazio vettoriale su un campoparapà, se su di esso sono definite le operazioni parapà, con le seguenti proprietà parapàparapàparapà. Ecco, al momento ti basta questo

[sellacollesella]

Non so bene cosa sia un campo e posso solo intuire cosa sia uno spazio vettoriale, ma oltre questo la definizione è chiarissima.

Nelle applicazioni praticone a cui sono abituato, il campo di scalari che ho indicato con \(\mathbb{K}\) corrisponde ad \(\mathbb{R}\) (numeri reali), alle volte anche a \(\mathbb{C}\) (numeri complessi); ma potrebbe essere anche altro. Invece, il concetto di spazio vettoriale è molto più astratto, perlomeno per menti labili come la mia. Sempre in riferimento ad applicazioni pratiche, spesso corrisponde ad \(\mathbb{R}^n\) sul campo \(\mathbb{R}\), ossia n-uple ordinate di numeri reali, ma potrebbe anche indicare lo spazio dei polinomi di grado al più \(n\) a coefficienti reali, o ancora quello delle funzioni continue su un intervallo reale o ancora quello delle matrici di \(m\) righe ed \(n\) colonne a coefficienti reali oppure ... bho!

Hai già fatto moltissimo, ti ringrazio per questo e per gli altri interventi sui miei altri thread.

Prego!

Continuerò a postare qualora dovessi avere ancora dubbi su qualcosa.

Certo, l'importante che tu metta subito in chiaro il dubbio che ti tormenta e dopo passare ad un esempio. Perché, anche rileggendo questo topic, non avevo proprio capito che non avessi compreso quel corollario (o comunque si voglia chiamarlo haha). Per il resto, avanti tutta, ciao!

[megas_archon]

Anche la mia preparazione in algebra è scandalosamente infima, dato che io studio ingegneria e non matematica all'università, non immagino nemmeno il voltastomaco di matematici di primo livello come megas_archon, Martino, j18eos, ... nel leggere le mie risposte poco più che improvvisate!

Niente paura, ogni volta che entro qui prendo un antiemetico!

La mia maniera preferita di vedere l'uguaglianza tra rango per righe e rango per colonne usa la dualità.

[j18eos]

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Anche la mia preparazione in algebra è scandalosamente infima, dato che io studio ingegneria e non matematica all'università, non immagino nemmeno il voltastomaco di matematici di primo livello come megas_archon, Martino, j18eos, ...¹ nel leggere le mie risposte poco più che improvvisate! [...]

Ciccia, io ho superato l'esame di algebra lineare con la prof.sa numero 3... e t'ho scritto tutto!

Giusto per cronaca: la prof.sa numero 1 scriveva troppo per i miei gusti, la numero 2 ***; la prof.sa numero 3 è fuori di testa come me, quindi ci siamo capiti sùbito!

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Note

1. axpgn non ho ancora capito che lavoro faccia o abbia fatto, ma è sicuramente più qualificato di me. ↑