Problema con sfera

[ZfreS]

Ho questo problema: determinare l’equazione cartesiana e successivamente le equazioni parametriche della sfera
tangente al piano $π : 3y − 2z + 3 = 0$ nel punto $P = (−1,−1,0)$ ed avente centro sul piano $π′ : 3x+y+2z+5=0$

Il procedimento a cui ho pensato è questo: per trovare l'equazione mi serve trovare il centro e il raggio. Una volta noto il centro, per avere il raggio calcolo la distanza dal punto di tangenza al centro oppure la distanza dal punto di tangenza al piano $pi'$ dovrebbe essere la stessa cosa. Per trovare il centro invece, uso il vettore normale al piano $pi'$ come direttore della retta ortogonale al piano, trovata la retta la interseco col piano e il punto d'intersezione è il centro. Ho svolto tutti i calcoli, ma non conoscendo la soluzione, chiedo a voi se il procedimento è corretto.

[sellacollesella]

Determinare l’equazione cartesiana e successivamente le equazioni parametriche della sfera tangente al piano $π : 3y − 2z + 3 = 0$ nel punto \(P = (−1,−1,0)\) ed avente centro sul piano $π′ : 3x+y+2z+5=0$.

Ok.

Il procedimento a cui ho pensato è questo: per trovare l'equazione mi serve trovare il centro e il raggio.

Ok.

Una volta noto il centro, per avere il raggio calcolo la distanza dal punto di tangenza al centro

Ok.

oppure la distanza dal punto di tangenza al piano $pi'$ dovrebbe essere la stessa cosa.

Funziona solamente nel caso fortuito in cui \(\pi\) e \(\pi'\) sono paralleli.

Per trovare il centro, invece, uso il vettore normale al piano $pi'$ come direttore della retta ortogonale al piano, trovata la retta la interseco col piano e il punto d'intersezione è il centro.

Se quella retta passa per \(P\), allora in tal modo trovi la proiezione ortogonale di \(P\) su \(\pi'\), che coincide con \(C\) solamente nel caso fortuito in cui \(\pi\) e \(\pi'\) sono paralleli.

Suggerimento: in \(P\) i vettori normali alle rispettive superfici sono paralleli.

[ZfreS]

Cerco di capire: se dici che in $P$ i vettori normali sono paralleli, allora la normale al piano di tangenza può dare la direzione alla retta che intersecando il piano $pi'$ determina il centro. E' corretto?

[sellacollesella]

Giusto, infatti un vettore normale alla superficie sferica è proprio \(P−C\).

[ZfreS]

Bene, ma come trovo C, visto che in generale i due piani non sono paralleli, tanto meno questi due che abbiamo?

[sellacollesella]

Il fatto è che tu hai in mente che \(C\) si possa trovare solo tramite intersezione tra un piano ed una retta. Invece, in questo caso le coordinate di \(C\) si determinano imponendo il parallelismo tra un vettore normale alla superficie sferica, ossia \(P-C\), e un vettore normale al piano \(\pi\) che sicuramente sai calcolare. Pertanto, ora bisogna chiedersi: come posso tradurre il parallelismo tra due vettori in una equazione? Cosa hanno di speciale due vettori paralleli? Ecco, è questo su cui devi concentrarti, poi è tutto in discesa, o quasi.

[ZfreS]

Ok, adesso mi è chiaro. Per imporre il parallelismo faccio così: il vettore normale a $pi$ è $n=(0,3,-2)$ mentre il vettore $P-C$ ha componenti $P-C=(-1-x_c, -1-y_c,-z_c)$ e impongo che il determinante $|(i, j, k),(0,3,-2),(-1-x_c, -1-y_c, -z_c)| = 0$. Così trovo il vettore $(-3z_c-2-2y_c, 2+2x_x, 3+3x_c)$ e lo uguaglio al vettore nullo. Così ottengo un sistema di 3 equazioni in 3 incognite: $\{(-3z_c-2y_c-2=0),(2+2x_c=0),(3+3x_c=0):}$
il problema è che non ho sufficienti informazioni per trovare i valori delle incognite.

[j18eos]

Ricordati dove si trova il centro della sfera...

P.S.: non ho controllato il resto dei calcoli, chiedo venia!

[sellacollesella]

Ti do anche la conferma circa i conti, quindi segui il consiglio di j18eos per pareggiare il numero di equazioni con il numero di incognite. Ma al di là dei calcoli, hai chiaro il significato geometrico di quel determinante? Scusa la domanda da rompi scatole, ma visto che siamo in ballo, balliamo e vediamo di chiarire tutto per bene. Poi, se vorrai, ti dirò come avrei fatto io, dato che avrei evitato il calcolo di quel determinante.

[ZfreS]

Ok, ci dovrei essere, imponendo l'appartenenza del centro al piano $pi'$ trovo come valori del centro, se non sbaglio i conti, $C=(-1, -10/7, -2/7)$. Il motivo per cui uso il determinante, è che so essere la definizione "algebrica" di prodotto vettoriale, che è la prima operazione che mi è venuta in mente per imporre l'ortogonalità. In fine il raggio lo trovo tranquillamente con la distanza tra C e P.