Dubbio sugli autovettori

[HowardRoark]

La matrice di partenza è $ M= ((3,k),(1,3))$. Devo calcolarne autovalori e autovettori e dire se è diagonalizzabile.

$|M-lambdaI|=|((3-lambda, k), (1, 3-lambda))| = (3-lambda)^2-k => lambda^2-6lambda + 9 -k$.

Pongo il polinomio caratteristico uguale a 0 e trovo gli autovalori: $lambda^2-6lambda + 9 - k=0 =>lamda_(1,2) = 3+-sqrt(k)$.
Ora, per $k<0$ non esistono autovalori reali, per $k=0$ la molteplicità algebrica e molteplicità geometrica dell'autovalore $lambda=3$ non coincidono e pertanto la matrice non è diagonalizzabile. Studio ora il caso $k>0$.
Sicuramente per $k>0$ la matrice è diagonalizzabile, però io voglio trovare anche gli autovettori associati ai rispettivi autovalori.

Se, ad esempio, cerco l'autovettore associato all'autovalore $lambda_2=3-sqrt(k)$, devo risolvere:

$((sqrt(k), k), (1, sqrt(k))) ((x),(y)) = ((0),(0))$, cioè $\{(sqrt(k)*x + k*y=0), (x+sqrt(k)*y=0 => x=-sqrt(k)*y) :}$.
Quindi, ad esempio, l'autovettore associato all'autovalore $lambda_2$ è $(-sqrt(k), 1)$.

Se però mi esplicito la $y$ in funzione di $x$ (cioè tratto $x$ come un parametro e risolvo rispetto ad $x$), ottengo $y=-sqrt(k)/k *x$. E quindi l'autovettore potrebbe essere ad esempio $(1, -sqrt(k)/k)$.
Cioè il mio dubbio consiste in questo: in base alla variabile che io decido di prendere come parametro (nel primo caso ho risolto trattando $y$ come un parametro, nel secondo ho trattato $x$ come un parametro), ottengo autovettori differenti, ma questa cosa mi sembra alquanto strana. Cosa sto sbagliando?

[j18eos]

Quei vettori sono proporzionali...

[HowardRoark]

Ok, quindi posso passare dall'uno all'altro moltiplicando un vettore per un'opportuna costante. Allora non cambia nulla ed entrambi i modi di procedere sono corretti, giusto?

[j18eos]

Sì, giusto.

E ricordati che la molteplicità geometrica di un autovalore (di una matrice quadrata) è la dimensione dell'autospazio vettoriale ad esso associato!, quindi, in questo esercizio, \(1\) significa che basta trovare un autovettore, ed a meno di un multiplo scalare li hai trovati tutti!