Problema con sfera e piano tangente

[ZfreS]

Ho questo esercizio: determinare l'equazione dei piani tangenti alla sfera $S: x^2+y^2+z^2-2x+4y+2z-3=0$ che contengono la retta $r: \{(x= 3 + t),(y = 1),(z = t):}$ con $t in RR$.

Ho difficoltà a capire come risolverlo, anche se ho parecchi dati, in questo caso non so bene come sfruttarli. Ho pensato di trovare il vettore $CP$ dato che conosco il centro, e imporre a zero il prodotto scalare tra $CP$ e il direttore della retta, ma poi non ho abbastanza informazioni per scrivere il fascio di piani.
Vi chiedo gentilmente aiuto per questo problema.

[sellacollesella]

Conoscendo le equazioni parametriche di \(r\) puoi determinare subito il fascio di piani che la contiene, no?

[ZfreS]

Dunque, la retta r la posso passare in equazione cartesiana, $r:\{(x-z-3=0),(y-1=0):}$ e di conseguenza il fascio di piani diventa: $lamda_1(x-z-3)+lambda_2(y-1)=0$ con $(lambda_1, lambda_2)!=(0,0)$. Fin qui è corretto?

[sellacollesella]

Perfetto! Ora, tra questi infiniti piani ottenibili al variare dei due parametri non contemporaneamente nulli, dobbiamo selezionare quello o quelli che sono tangenti la superficie sferica assegnata. Per fare questo, io ricorderei che quando due superfici sono tangenti in un punto, ivi i rispetti vettori normali sono paralleli, ossia proporzionali. Quindi, come prima cosa ci servono sti benedetti vettori normali, li sapresti determinare?

[ZfreS]

Beh, allora il vettore normale al piano dovrebbe essere $(1,0,1)$, mentre l'altro vettore che possa centrare qualcosa è $CP$

[sellacollesella]

In generale, un vettore normale ad una superficie implicita \(f(x,y,z)=0\) è \(\mathbf{n}=(f_x,f_y,f_z) \ne (0,0,0)\).

D'altro canto, quando si ha a che fare con piani e sfere, non è strettamente necessario conoscere ciò.

In particolare, a noi interessa un vettore normale ai piani del fascio che dipenderà da \(h\) e \(k\) e un vettore normale alla sfera che sarà appunto \(P-C\), con \(P\) generico e \(C\) che mi pare tu abbia già calcolato, no?

[ZfreS]

Ok, quindi so che $C=(1,-2,-1)$ e quindi il vettore $P-C$ avrà componenti $(x_p-1, y_p+2, z_p+1)$ e questo sarà proporzionale a $n=(1,0,1)$, quindi $(1,0,1) = lambda(x_p-1, y_p+2, z_p+1)$

[sellacollesella]

Ok, quindi so che $ C=(1,-2,-1) $ e quindi il vettore $ P-C $ avrà componenti $ (x_p-1, y_p+2, z_p+1) $

Perfetto.

e questo sarà proporzionale a $ n=(1,0,1) $

No, in quanto \((1,0,1)\) è un vettore parallelo ad \(r\), non è un vettore perpendicolare ai piani del fascio.

quindi $ (1,0,1) = lambda(x_p-1, y_p+2, z_p+1) $

Una volta che avrai sistemato \((1,0,1)\) allora questa uguaglianza è corretta a patto che sia \(\lambda \ne 0\).

[ZfreS]

Scusami, per trovare il vettore ortogonale alla retta, devo fare il prodotto vettoriale dei vettori che hanno come componenti i coefficienti delle x,y,z delle equazioni della retta, perché dici che è parallelo?

[sellacollesella]

I punti \(P\) di una retta \(r\) si possono parametrizzare come: \[
P = P_0 + \mathbf{v}\,t, \quad t \in \mathbb{R}
\] dove \(P_0\) è un punto appartenente ad \(r\) e \(\mathbf{v}\) è un vettore non nullo parallelo ad \(r\).

In base alla parametrizzazione da te riportata, si ha \(P_0=(3,1,0)\) e \(\mathbf{v}=(1,0,1)\).

Quindi, tale retta l'hai scritta come intersezione di due piani, ossia: \[
\begin{cases}
x - z - 3 = 0 \\
y - 1 = 0 \\
\end{cases}
\] da cui ne consegue che un fascio di piani contenenti \(r\) sia: \[
h(x-z-3)+k(y-1)=0, \quad (h,k) \ne (0,0)
\] dei quali a noi interessa un vettore normale, che appunto dipenderà da \(h\) e \(k\).

Si tratta di fare esattamente come in un paio di esercizi fa, nulla di più complicato.