Algebra di Lie di $\mathbb R^n$

[Brufus]

Consideriamo la traslazione $L_b(x)=x+b$ da $\mathbb R^n$ in $\mathbb R^n$. Per quale motivo il differenziale $d_x L_b =
\ mathcal{id}_{\mathbb R^n}$? Mi sembra di capire che stiamo affermando che $d_x L_b: T_x \mathbb R^n \rightarrow T_{L_b (x)} \mathbb R^n$ sia proprio la mappa identità da $ \mathbb R^n$ in $\mathbb R^n$ avendo identificato canonicamente $T_x \mathbb R^n$ con $ \mathbb R^n$ come faccio a verificarlo con i conti? Se considero una derivazione $v \in T_x \mathbb R^n$ allora $v= a_1 \frac {\partial}{\partial x_1}|_x$ $+ ..... +$$a_n \frac {\partial}{\partial x_n}|_x $ e quindi $d_x L_b (v)([f])= v(f \circ L_b)=(a_1 \frac {\partial}{\partial x_1}|_x+ ..... +a_n \frac {\partial}{\partial x_n}|_x)( f\circ L_b) $ ora non so come continuare

[megas_archon]

Scusa, quale potrà mai essere lo jacobiano di una traslazione?

[Brufus]

Ma io non voglio passare in coordinate locali. Voglio verificarlo applicando le definizioni rigorose.

[dissonance]

Sono d'accordo con megas_archon che la cosa dovrebbe essere ovvia. Precisamente:

$d_x L_b (v)([f])= v(f \circ L_b)=(a_1 \frac {\partial}{\partial x_1}|_x+ ..... +a_n \frac {\partial}{\partial x_n}|_x)( f\circ L_b) $ ora non so come continuare

Ora commuta le derivate e $L_b$. Una derivata commuta con una traslazione, no?