paolo1712 ha scritto:Non so cosa voglia dire "curryficata" cosa sia un'immersione e non ho mai visto una forma bilineare con prodotto cartesiano tra spazi diversi. Potresti guidarmi?
E' molto semplice in realtà: una applicazione bilineare tra $K$-spazi vettoriali, in generale, è una mappa \(U\times V\to W\) definita partendo da tre spazi vettoriali \(U,V,W\); dalla definizione di applicazione bilineare segue immediatamente che l'insieme \(Bil(U,V;W)\) è uno spazio vettoriale, il quale è isomorfo a \(\hom_K(U,\hom_K(V,W))\), così come a \(\hom_K(V,\hom_K(U,W))\) canonicamente, ovvero naturalmente in tutte e tre le "variabili" \(U,V,W\).
Il teorema fondamentale ora è che questa corrispondenza è "rappresentabile", cioè che esiste uno spazio vettoriale \(T(U,V)\) con la proprietà che le applicazioni
bilineari \(U\times V\to W\) corrispondono, canonicamente, alle applicazioni
lineari \(T(U,V)\to W\); è solitamente uso indicare \(T(U,V)\) con un simbolo infisso, \(T(U,V) =: U\otimes V\), dato che mandare \(U,V\mapsto U\otimes V\) è una operazione binaria associativa. In simboli,\[\hom_K(U,\hom_K(V,W))\cong\hom_K(U\otimes V,W)\cong \hom_K(V,\hom_K(U,W))=Bil(U,V;W)\] Lo spazio vettoriale \(U\otimes V\) ora è definito univocamente dalla seguente
proprietà universale.
Dato che gli spazi vettoriali \(Bil(U,V;W)\) e \(\hom_K(U\otimes V,W)\) sono isomorfi, mediante un isomorfismo\[\begin{CD}\theta_{UVW} : Bil(U,V;W) @>>> \hom_K(U\otimes V,W),\end{CD}\] all'applicazione lineare identica \(\text{id}_{U\otimes V}\) corrisponde una applicazione bilineare universale \(\tau : U\times V\to U\otimes V\) con la proprietà seguente: ogni applicazione bilineare \(g : U\times V \to W\) induce un'unica applicazione lineare \(\bar g : U\otimes V\to W\) tale che \(\bar g\circ \tau=g\):\[\begin{CD}U\times V @>g>> W \\ @V\tau VV @| \\ U\otimes V @>>\bar g> W\end{CD}\] (è molto facile dimostrare che, se \((U\boxtimes V,\tau')\) è un'altra coppia che soddisfa la stessa proprietà di \((U\otimes V,\tau)\), allora esiste un unico isomorfismo lineare \(\gamma : U\otimes V\cong U\boxtimes V\) tale che \(\gamma\circ\tau = \tau'\), quindi \(U\otimes V,U\boxtimes V\) sono "modelli equivalenti" per lo stesso oggetto, il "prodotto tensoriale" di U e V.
La dimostrazione è la stessa di ogni altra istanza del concetto di proprietà universale: se \((U\otimes V,\tau),(U\boxtimes V,\tau')\) soddisfano entrambi la proprietà universale che ho detto, esistono dei diagrammi \[\begin{CD}U\times V @>\tau'>> U\boxtimes V \\ @V\tau VV @| \\ U\otimes V @>>> U\boxtimes V\end{CD}\qquad \begin{CD}U\times V @>\tau>> U\otimes V \\ @V\tau' VV @| \\ U\boxtimes V @>>> U\otimes V \end{CD}\] e a questo punto l'unicità di cui prima implica che le composizioni \(U\otimes V\to U\boxtimes V\to U\otimes V\) e \(U\boxtimes V\to U\otimes V\to U\boxtimes V\) sono entrambe identità, cosicché \(U\otimes V\cong U\boxtimes V\), canonicamente. Una maniera ulteriore, ed equivalente, di vedere questo fatto, è notare che la coppia \((U\otimes V,\tau)\) è l'
oggetto iniziale della
categoria degli elementi \(\int Bil(U\times V;\_)\) di \(Bil(U\times V;\_) : W\mapsto Bil(U\times V;W)\) (praticamente per definizione, una volta che hai esplicitato la definizione di \(\int Bil(U\times V;\_)\)). Allora, dato che in ogni categoria \(\mathcal X\) l'oggetto iniziale è unico a meno di isomorfismo non appena esiste, concludi che per ogni altro \((U\boxtimes V,\tau')\) che abbia la stessa proprietà universale, deve esiste un isomorfismo \(U\otimes V\cong U\boxtimes V\).
Una volta che questo sia chiaro, l'operazione di "saturare" una funzione lineare di dominio \(U\otimes V\) in una delle sue componenti, cioè di fare la stessa cosa alla applicazione bilineare associata, mandando \(g : U\times V\to W\) in \(\hat g : V \to\hom_K(U,W):v\mapsto g(v,-)\), si chiama "
currying": se ne è parlato
qui, dove tra l'altro vengono dette le stesse cose, con la stessa cantilena, da secoli e secoli, amen. Nuovamente, si può dimostrare in maniera del tutto elementare l'isomorfismo \[\hom(U\otimes V,W)\cong \hom_K(U,\hom_K(V,W))\tag{$\spadesuit$}\] e ci sono diversi modi di farlo: per esempio ostrando che esiste effettivamente un isomorfismo di spazi vettoriali di quel tipo, naturale nei tre argomenti \(U,V,W\): del resto, data una applicazione bilineare \(g : U\times V\to W\) che corrisponde a una lineare \(U\otimes V\to W\), si può considerare la mappa \(g^\uparrow : U\to \hom_K(V,W) : u\mapsto g(u,\_)\); questa è lineare, perché $g$ è lineare nel primo argomento, e assume valori in \(\hom_K(V,W)\), perché $g$ è lineare nel secondo argomento. D'altra parte, data una applicazione lineare \(q : U\to \hom_K(V,W)\), si può definire una applicazione bilineare \(q^\downarrow : U\times V\to W\) che manda \((u,v) \mapsto q(u)(v)\); è a questo punto evidente che \((g^\uparrow)^\downarrow = g\) e \((q^\downarrow)^\uparrow = q\).
Una maniera alternativa di dimostrarlo è questa: esistono due mappe canoniche e naturali \(\eta,\epsilon\) (dette rispettivamente
unità e
counità) definite come segue:
- \(\eta_A : A\to \hom_K(V,A\otimes V)\) si ottiene da \(\tau : U\times V\to U\otimes V\) nell'isomorfismo \(Bil(U\times V;U\otimes V)\cong\hom_K(U\otimes V,U\otimes V)\): in parole povere, \(\eta_A(a)=\tau(a,-)\).
- \(\epsilon_B : \hom_K(V,B)\otimes V \to B\) si ottiene dalla mappa di valutazione, cioè dall'unica applicazione (che è bilineare) \(\hom_K(V,B)\otimes V \to B : (f,v)\mapsto f(v)\).
E' facile vedere, ora, che le mappe \(\eta,\epsilon\) soddisfano le
identità triangolari: \[\begin{cases} (\epsilon_{V\otimes B})\circ (V\otimes \eta_B) = 1_{V\otimes B}\\ \hom_K(V,\epsilon_A)\circ \eta_{\hom_K(V,A)} = 1_{\hom_K(V,A)}\end{cases}\] da cui ottieni che la coppia di funzioni lineari\[\hom(U\otimes V,W)\to \hom_K(U,\hom_K(V,W)) : s\mapsto \eta_U\circ\hom_K(V,s)\qquad
\hom_K(U,\hom_K(V,W)) \to \hom(U\otimes V,W) : t\mapsto (t\otimes V)\circ \epsilon_W\] sono due isomorfismo lineari uno inverso dell'altro.
Con questo risultato puoi mostrare pressoché ogni teorema dello scibile umano che riguardi le applicazioni bi (e multi-)lineari.
La definizione che hai visto tu è specializzata da quella generale, prendendo \(U=V\) e \(W=K\) (cioè di dimensione 1).
