Problema con superfici di rotazione

[ZfreS]

Scusami, ma come faccio allora a determinarlo?

[sellacollesella]

L'esercizio ti assegna già il vettore direttore di \(s\), quindi...

[ZfreS]

Già, il vettore normale al piano è lo stesso vettore che fa da direttore alla retta s.
Quindi il fascio sarà: $2x+y-z+k=0$
Il conto che ho fatto, dimenticando che avevo la retta s in forma parametrica, è ricavare il vettore normale a partire dall'equazione cartesiana

[sellacollesella]

Al 23° messaggio siamo giunti al tanto agognato fascio improprio di piani. Bene. Ora che ce ne facciamo?

[ZfreS]

Adesso, su questo piano bisogna individuare una circonferenza e imporre che il raggio sia $2sqrt(2)$. Per farlo, bisogna avere il centro, che sarà l'intersezione tra il fascio è la retta s, e un punto per avere il raggio, che dovrà appartenere alla retta r

[sellacollesella]

Ottimo, ora vedi di accompagnare il tutto con dei conti corretti, che l'esercizio è subito finito.

[ZfreS]

Ok, il centro, in funzione di k è: $C=((k-9)/3,k/6,(k+9)/6)$
Supponiamo il punto sulla retta r abbia coordinate $P=(x_p,y_p,z_p)$.
Allora dovrò scrivere che $\{(x_p-x_c=R),(y_p-y_c=R),(z_p-z_c=R):}$ e nello stesso sistema aggiungere l'appartenenza del punto P alla retta r, giusto?

[sellacollesella]

Ma i calcoli li fai con il pallottoliere? Non trovo altra spiegazione, non ne azzecchi uno nemmeno per sbaglio.

Come hai giustamente scritto, il centro \(C\) della circonferenza si trova intersecando il fascio di piani \(\pi_k\) con \(s\): \[
\pi_k\,:\, 2x+y-z+k=0,
\quad \quad \quad
s\,:\,
\begin{cases}
x = -1+2t \\
y = 1+t \\
z = 2-t \\
\end{cases}
\quad t \in \mathbb{R}
\] che banalmente implica la risoluzione di una equazione lineare in una incognita: \[
2(-1+2t)+(1+t)-(2-t)+k=0
\quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad
t = \frac{3-k}{6}
\] da cui le coordinate del centro tanto desiderate: \[
C\left(-\frac{k}{3},\frac{9-k}{6},\frac{9+k}{6}\right).
\] A questo punto, per determinare un punto \(P\) appartenente alla circonferenza basta intersecare \(\pi_k\) con \(r\): \[
\pi_k\,:\, 2x+y-z+k=0,
\quad \quad \quad
r\,:\,
\begin{cases}
3x - 2z + 3 = 0 \\
5x - 2y + 3 = 0 \\
\end{cases}
\] che equivale a risolvere un sistema di tre equazioni lineari in tre incognite: \[
\begin{cases}
2x + y - z + k = 0 \\
3x - 2z + 3 = 0 \\
5x - 2y + 3 = 0 \\
\end{cases}
\quad \quad \Rightarrow \quad \quad P(\dots,\,\dots,\,\dots).
\] Infine, non rimane che risolvere l'equazione \(||P-C||=2\sqrt{2}\) per determinare i \(k\) risolventi.

[ZfreS]

Perfetto, ci sono. Facendo i conti viene fuori $k= +-3$. Quindi i fasci sono: $2x+y-z+1/3=0$ e $2x+y-z-1/3=0$.
Ti ringrazio di cuore per l'aiuto e la pazienza che hai avuto nell'aiutarmi. Nonostante il thread lungo, ce l'abbiamo fatta!

[sellacollesella]

Facendo i conti viene fuori $k= +-3$.

Conti corretti.

Quindi i fasci

Il fascio è unico, dal quale selezioni dei piani...

... $2x+y-z+1/3=0$ e $2x+y-z-1/3=0$.

che essendo \(2x+y-z+k=0\) sono sbagliati, esercizio nuovamente buttato alle ortiche.