Problema con superfici di rotazione

[ZfreS]

Buon giorno. Ho questo problema sulle superfici di rotazione: data la retta $r: \{(3x-2z+3=0),(5x-2y+3=0):}$ e $s$ la retta per $P=(-1,1,2)$ e avente vettore direttore $v=2i+j-k$. Sia $Sigma$ la superficie di rotazione della retta $r$ attorno alla retta $s$. Determinare i piani che tagliano $Sigma$ lungo un parallelo di raggio $2sqrt(2)$.

Prima di tutto scrivo la retta $s$ in forma parametrica: $s: \{(-1+2t),(1+t),(2-t):}$.
L'idea è di scrivere un fascio di piani che intersecano la superficie $Sigma$, calcolare l'intersezione tra "l'asse", ovvero la retta s e il fascio chiamato punto $Q$, imporre che il raggio del parallelo sia quello desiderato. Il problema è che non capisco come imporre trovare il raggio, perché non conosco il punto sulla superficie con cui costruire il vettore che lo congiunge al punto $Q$.

Se l'idea è corretta, potreste darmi un suggerimento per l'ultimo punto?

[sellacollesella]

Innanzitutto indagherei sulla posizione reciproca delle rette \(r\) ed \(s\):

• se sono parallele allora la superficie \(\Sigma\) è un cilindro circolare,
  che degenera in una retta se \(r\), \(s\) sono parallele coincidenti;
  
  
• se sono incidenti allora la superficie \(\Sigma\) è un cono circolare a due falde,
  che degenera in un piano non bucato se \(r\), \(s\) sono incidenti perpendicolari;
  
  
• se sono sghembe, allora la superficie \(\Sigma\) è un iperboloide ad una falda,
  che degenera in un piano bucato se \(r\), \(s\) sono sghembe perpendicolari.

Assodato ciò, concordo sullo scrivere un fascio di piani, ma di che tipo? Provaci.

[ZfreS]

Se non ho sbagliato conti, Ho verificato che le due rette sono sghembe, quindi è un iperboloide ad una falda.
Il fascio di piani deve contenere la retta $r$, quindi sarà: $h(3x-2z+3)+k(5x-2y+3)=0$ con $(h,k)!=(0,0)$.

[sellacollesella]

Purtroppo non ci siamo. Rifai i conti per bene e in caso postali che vediamo dove sta l'errore.
Circa il fascio di piani, tieni conto che siamo interessati a quelli che intersecano \(\Sigma\) in paralleli.

[ZfreS]

Ho scritto $s$ in forma cartesiana: $\{(3x-2z+3=0),(5x-2y+3=0):}$, ho calcolato il rango della matrice incompleta e poi della matrice completa. La prima ha rango 3, la seconda 4. Da lì ho derivato che le rette sono sghembe.
Per il fascio di piani è corretto usare la retta s?

[sellacollesella]

Dato che l'esercizio assegna le rette: \[
r\,:\,
\begin{cases}
3x - 2z + 3 = 0 \\
5x - 2y + 3 = 0 \\
\end{cases}
\quad \quad \quad
s\,:\,
\begin{cases}
x = -1 + 2t \\
y = 1 + t \\
z = 2 - t \\
\end{cases}
\quad t \in \mathbb{R}
\] la cosa più semplice da fare è intersecarle, ossia: \[
\begin{cases}
3(-1+2t) - 2(2-t) + 3 = 0 \\
5(-1+2t) - 2(1+t) + 3 = 0 \\
\end{cases}
\quad \Leftrightarrow \quad
\begin{cases}
t = 1/2 \\
t = 1/2 \\
\end{cases}
\quad \Leftrightarrow \quad
t = 1/2
\] da cui ne consegue immediatamente che \(r\), \(s\) sono incidenti in \((0,3/2,3/2)\). Fine!

D'altro canto, avremmo comunque potuto scrivere le due rette in forma cartesiana: \[
r\,:\,
\begin{cases}
3x - 2z + 3 = 0 \\
5x - 2y + 3 = 0 \\
\end{cases}
\quad \quad \quad
s\,:\,
\begin{cases}
x - 2y + 3 = 0 \\
y + z - 3 = 0 \\
\end{cases}
\] da cui ne consegue che: \[
\det\begin{bmatrix}
3 & 0 & -2 & 3 \\
5 & -2 & 0 & 3 \\
1 & -2 & 0 & 3 \\
0 & 1 & 1 & -3 \\
\end{bmatrix} = 0
\] ossia \(r\), \(s\) non sono sghembe, bensì potrebbero essere incidenti o parallele ... strada troppo lunga!

In ogni modo, ora sappiamo che \(\Sigma\) è un cono circolare a due falde di vertice \((0,3/2,3/2)\), che seppur ai fini strettamente dei calcoli sia irrilevante è fondamentale per farsi un'idea concreta degli oggetti geometrici in gioco e poter scegliere con cognizione di causa la strada da seguire. Altrimenti si tira solo ad indovinare e l'esame lo si passa nel duemilamai, che di per sé a me non cambia proprio nulla, ma a te probabilmente sì.

Nella fattispecie, dato che sono richiesti dei piani che intersecano \(\Sigma\) in paralleli, è palese che debbano avere come vettore direttore quello della retta \(s\), asse di rotazione di \(\Sigma\), pertanto il fascio di piani come si scrive?

[ZfreS]

Il fascio proprio contente la retta s è $h(x-2y+3)+k(y+z-3)=0$ con $(h,k)!=(0,0)$

[sellacollesella]

Sicuro che quei piani intersechino \(\Sigma\) in paralleli e non in meridiani?

Ma, soprattutto, hai presente la definizione di paralleli e meridiani circa le superfici di rotazione?

Capisci che per me, che sto dall'altra parte dello schermo, pare che tu stia tirando ad indovinare?

[ZfreS]

Allora, un parallelo si ottiene intersecando un piano ortogonale alla retta che fa da asse, mentre il meridiano si ottiene dai piani passanti per l'asse. Quindi il piano deve avere la direzione della retta r.

[sellacollesella]

Allora, un parallelo si ottiene intersecando un piano ortogonale alla retta che fa da asse, mentre il meridiano si ottiene dai piani passanti per l'asse.

Sì.

Quindi il piano deve avere la direzione della retta r.

No.