Problema con superfici di rotazione

[ZfreS]

Ok, credo di aver capito, stavo immaginando la retta r ortogonale ad s, mentre non lo è. Quindi il piano è ortogonale sia ad s che ad r. Ma quale delle due rette scegliere? Io sceglierei la retta s, quindi la direzione del piano è ortogonale al vettore direttore della retta s.

[sellacollesella]

Quindi il piano è ortogonale sia ad s che ad r.

Ma dove lo hai letto?

Io sceglierei la retta s.

Motiva.

[ZfreS]

Perdonami, ma non mi è chiarissimo. Se c'è un piano che interseca la superficie, su quel piano dovrà esserci un parallelo, e per questo piano passerà la retta r. E' ragionevole che io prenda la direzione ortogonale della retta, e dare questa direzione al piano.

[sellacollesella]

La situazione è questa:


dove la retta \(\color{blue}{r}\) ruotando attorno alla retta \(\color{red}{s}\) spazzola i punti di una superficie conica.

Siccome siamo interessati a dei paralleli, ossia delle curve ottenute intersecando la superficie
conica con dei piani normali all'asse di rotazione, qual è l'equazione cartesiana del fascio di piani?

[ZfreS]

Se i piani devono essere normali all'asse di rotazione che è s, deve avere direzione ortogonale ad s.

[sellacollesella]

Sì, quindi qual è l'equazione cartesiana del fascio di piani perpendicolari ad \(s\)?

[ZfreS]

Il fascio è improprio: $6y+4z+k=0$

[sellacollesella]

Sì, il fascio deve essere improprio, ma quello che hai scritto non è perpendicolare alla retta \(s\).

[ZfreS]

Ho fatto un errore scemo nel calcolo, dovrebbe essere giusto questo: $-4x-10y-6z+k=0$

[sellacollesella]

Non c'è da fare nessun conto per determinare dei piani perpendicolari ad \(s\); quelli non lo sono.