Problema con iperpiano

[ZfreS]

Buon giorno. Ho questo problema: determinare gli iperpiani di $E^4$ ortogonali al sottospazio affine dato da $S_1:\{(x_1+2x_3-1=0),(x_2-3=0),(x_4-2x_3-2=0):}$ aventi distanza $d=2$ dal punto $P=(1,1,1,0)$.

Ho pensato di risolvere così: trovo il vettore direttore di questo sottospazio, ma non saprei come, visto che non ha dimensione famigliare, ottenuto questo vettore trovo quello ortogonale, infine impongo la distanza uguale a 2 usando la formula della distanza di un punto da un'iperpiano.

Sapreste aiutarmi a capire come determinare il vettore direttore?

Edit: ho pensato di calcolarlo in questo modo, ma non so se sia corretto: $|(i,j,k,l),(1,0,2,0),(0,1,0,0),(0,0,-2,1)|$
ottenendo il vettore $v=(-2,0,1,-2)$

[Quinzio]

Il vettore direttore e' quello (c'e' un errore di calcolo pero'): $\vec d =(-2, 0, 1, 2)$.
Questo vettore ha modulo $\sqrt(d \cdot d) = 3$.
Quindi i due iperpiani devono passare per i due punti $(1,1,1, 0) \pm 2/3 (-2, 0, 1, 2) $.
L'iperpiano ortogonale al vettore $\vec d$ e' $-2x_1 +x_3 +2 x_4 + k_{1,2} = 0$.
Per trovare i due $k_{1,2}$ sostituisci nell'equazione dell'iperpiano i due punti di prima e hai finito.

[ZfreS]

Perdonami, ma non sto capendo il perché. La prima cosa che vorrei capire è se il vettore direttore di S è ortogonale alla sua giacitura oppure è parallelo. In secondo luogo non capisco perché si calcoli la norma del vettore. Poi perché c'è il $+-$ e il passaggio per il punto della direzione.
Forse non mi è chiaro come funziona il tutto. Io me lo immagino così: prendo il sottospazio e trovo una base della giacitura $W$ risolvendo il sistema omogeneo. Trovo quindi che lo span è formato dai vettore $w=(-2,0,1,2)$ che è lo stesso trovato come direttore. Quindi S ha dimensione 1, quindi è una retta. Ora, trovare gli iperpiani ortogonali, (che avranno dimensione 3, quindi degli spazi), bisogna determinare il complemento ortogonale di $W$. Per trovarlo impongo nullo il prodotto scalare tra il vettore della base che di $W$ e il generico vettore di $E^3$ $(a,b,c,d)$.
Ottengo che lo span di $W^(bot)$ è formato dai vettori: $w_1=(1,0,2,0)$, $w_2=(0,0,-2,1)$ e $w_3=(0,1,0,0)$. Quindi questi sono una base dell'iperpiano. Ora immagino, che $w$ sia ortogonale all'iperpiano che ha equazione:
$ax_1+bx_2+c_x3+dx_4+e=0$ dove $(a,b,c,d)=(-2,0,1,2)$. Quindi l'equazione è $-2x_1+x_3+2x_4+e=0$. Ora imponendo il passaggio per il punto $p=(1,1,1,0)$ e la distanza pari a 2, con la formula ottengo: $(-2+0++1+2+e)/sqrt(-2^2+1^2+2^2)=2$ da cui ricavo che $e=5$, quindi l'iperpiano è: $2x_1-x_3-2x_4-5=0$.
E' corretto questo ragionamento?

[Quinzio]

Ragioniamo in $E^3$ con un esercizio simile ma piu' semplice, in modo da poter visualizzare il tutto.

$ S_1:\{(x_1=0),(x_2=0):} $

Stiamo parlando dell'asse $z$, banalmente, quindi il vettore direttore analogo di questo esercizio sara' $(0,0,1)$.
Ma come facciamo a trovarlo ?
Prendiamo la matrice ricavata da $S_1$

$((1, 0, 0),(0 , 1, 0))$

e troviamo il suo kernel, lo spazio nullo.
Guardacaso e' il vettore $(0,0,1)$.

Ora troviamo il piano ortogonale al vettore direttore. Come facciamo ?
Prendiamo i coefficienti del vettore $(0,0,1)$ e li sostituiamo nell'equazione di un piano $0x_1+ 0 x_2 + x_3 + k_{1,2}= x_3 + k_{1,2} = 0$

Benissimo.
Adesso vogliamo trovare i due $k_1$ e $k_2$ tali per cui il piano dista $2$ dal punto $(1,1,1)$.

Il vettore direttore ha modulo $1$ (e' un esercizio molto semplice questo) e i punti che distano $2$ dal punto $(1,1,1)$ lungo la direzione del vettore direttore sono $(1,1,1) \pm 2(0,0,1)$ ovvero sono i punti
$(1,1, 3)$ e $(1,1-1)$.

Adesso sostituiamo questi due punti nell'equazione del piano e troviamo $k_{1,2}$.
Piano $x_3 + k_1 = 0$.
$3 + k_1 = 0$
$k_1 = -3$
Quindi il piano e' $x_3 - 3 = 0$

Analogo ragionamento per l'altro piano e troviamo $x_3 + 1 = 0$
Quindi, i piani ortogonali a $S_1$ che distano $2$ dal punto $(1,1,1)$ sono
$x_3 - 3 = 0$
$x_3 + 1 = 0$

Nell'esercizio originale i passaggi sono gli stessi, tranne che non e' piu' possibile visualizzare gli oggetti e l'esercizio non e' cosi' banale come il mio. Ma la procedura e' identica.

[ZfreS]

Perfetto, ora ho capito tranne il perché i piani sono 2 e non uno solo. Volevo anche sapere se il procedimento che ho fatto nel post precedente sia corretto.