Per capire basta che leggi la dimostrazione del fatto che l'area di un parallelogramma è base per altezza (penso che basti una ricerca su Google).
Ok qui mi ero in effetti spiegato male, volevo dire che devo in qualche modo dimostrare che base per altezza sia una costante variando le basi e altezze con quella trasformazione da te proposta. In effetti questo si vede geometricamente perché, poniamo che $a$ sia $(1,0)$ e $b=(0,1)$, sia ora la base del parallelogramma deformato $l$ e $f$ l'altezza. A questo punto l'angolo tra $f$ e $b$ è lo stesso tra $l$ e $a$ quindi si avrà: $a=l costheta)$ e $f=bcostheta$ quindi: $a*b=(lcostheta)*b=l*(bcostheta)=l*f$. cvd
Quando parlavo di operazioni di Gauss mi riferivo a quelle che sommano a una riga un multiplo di un'altra riga. Invece scambiare due righe non cambia il volume (ovviamente) ma cambia il segno del determinante
Ah ok, così mi torna, ma dato che per ridurre a triangolo usavo in teoria tutte le mosse di gauss, in teoria togliere una mossa di riduzione non dovrebbe compromettere la riduzione a matrice triangolare? Intendo dire, per ridurre una matrice sfrutto tutte le mosse, se una posso toglierla (cioè una mossa è superflua) mi basterebbero due mosse di gauss per ridurre. Non sono le minime mosse indispensabili per ridurre una matrice quelle di gauss?
Non ho inoltre capito perché "ovviamente" scambiare due righe funzioni nel mantenere immutato il volume, se scambio due righe cambio intimamente i vettori che definiscono il mio parallelogramma (ammettiamoli disposti per colonne), quindi non riesco a trovarlo così ovvio
Cosa intendi per "trasformazione ortogonale"?
Questo non lo so, nel senso che è scritto nelle note, se guardi il quote del primo messaggio il prof dice "trasformazione ortogonale" e si riferisce a questa riduzione. E il dubbio che mi era venuto era proprio quello, che a me non pare una trasformazione ortogonale per le cose che hai detto anche tu, quindi mi chiedevo cosa volesse dire con quel termine.
Se nella forma triangolare un elemento diagonale è nullo allora il volume è nullo. Prova a farti degli esempi (per esempio pensa al caso 2x2)
Esattamente, la mia domanda partiva proprio da questa conclusione, mi spiego: la dimostrazione che mi proponevi è la seguente ho dei vettori che delimitano un volume => mostro che la riduzione con gauss non altera il volume => riduco con gauss ad avere una matrice triangolare superiore => il prodotto degli elementi è il determinante che a margine si nota essere prodotto di base per altezze (sulla diagonale) => concludo che determinante=volume.
Dubbio: in questa dimostrazione sfrutto gauss, ma gauss non mi garantisce che nella riduzione a matrice triangolare io abbia tutti gli elementi sulla diagonale non nulli. E questo mi sembra un problema perché potrebbe voler dire che io ho un volume di valore non noto iniziale, seguo la dimostrazione che mi porta ad avere matrice triangolare superiore, ma la riduzione la faccio con gauss il quale non garantisce che ci siano elementi tutti non nulli sulla diagonale e questo porta all'assurdo di poter avere così il volume nullo.
