Problema con parabola

[ZfreS]

Ahhh, perfetto, adesso mi è chiaro. Non capivo perché bisognasse sostituire in u e v, e quindi l'equazione cartesiana che chiedeva l'esercizio era quella lunga e brutta, non la canonica. Semplicemente non avevo capito questo. In pratica, partire da quella, applicando la rototraslazione, si perviene a quella semplice $u=sqrt(5)/45v^2$, giusto?
Ti ringrazio immensamente sia per la pazienza che per l'impegno di seguirmi e spiegarmi tutto con passaggi e addirittura grafici!

[sellacollesella]

Io mi sono basato sulle richieste che hai scritto:

Determinare una forma canonica della parabola.

\[
u = \frac{\sqrt{5}}{45}v^2.
\]

Determinare una rototraslazione che la riduce in tale forma.

\[
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1/\sqrt{5} & -2/\sqrt{5} \\
2/\sqrt{5} & 1/\sqrt{5} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
u \\
v \\
\end{bmatrix}+
\begin{bmatrix}
0 \\
3 \\
\end{bmatrix}.
\]

Scrivere le coordinate del fuoco nel sistema di riferimento Oxy.

\[
(x_F,y_F) = \left(\frac{9}{4},\frac{15}{2}\right).
\]

Scrivere l’equazione cartesiana della parabola nel sistema di riferimento Oxy.

\[
4x^2+y^2-4xy-33x-96y+279=0.
\]

In pratica, a partire da quella, applicando la rototraslazione, si perviene a quella semplice $ u=sqrt(5)/45v^2 $.

Esatto, per questo si dice che è in forma canonica (che non è quella dove abita il parroco ).

[ZfreS]

Chiarissimo, pensavo che con equazione cartesiana ci si riferisse sia a quella che si presenta in forma canonica, sia quella non in forma canonica. Del resto sono entrambe equazioni cartesiane rispetto a due diversi sistemi di riferimento. Da lì il dubbio su quale volesse l'esercizio. Rinnovo i ringraziamenti!

[sellacollesella]

Infatti sono entrambe equazioni cartesiane, una nel sistema di riferimento \(Vuv\), l'altra in \(Oxy\).
L'esercizio richiedeva entrambe, per cui non ci si poteva sbagliare. Buona serata, ciao!