Problema con parabola

[ZfreS]

Sostituiamo x e y nella formula ottenendo
$[[-5],[8]]= [[1/sqrt(5), -2/sqrt(5)],[2/sqrt(5), 1/sqrt(5)]][[at^2],[t]]+[[0],[3]]$
Risolvendo come sistema trovo $t=1/(5sqrt(5)-2$ e $a=(5sqrt(5)-2)/3$

[sellacollesella]

Come hai giustamente scritto, basta sostituire, ossia: \[
\begin{bmatrix}
-5 \\
8 \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1/\sqrt{5} & -2/\sqrt{5} \\
2/\sqrt{5} & 1/\sqrt{5} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
at^2 \\
t \\
\end{bmatrix}+
\begin{bmatrix}
0 \\
3 \\
\end{bmatrix}
\] il quale non è altro che un sistema di due equazioni nelle incognite \(a\) e \(t\).

D'altro canto, bisogna pur fare i conti in modo corretto: \[
\begin{cases}
-5=at^2/\sqrt{5}-2t/\sqrt{5}\\
5=2at^2/\sqrt{5}+t/\sqrt{5}\\
\end{cases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{cases}
10\sqrt{5}=-2at^2+4t\\
5\sqrt{5}=2at^2+t\\
\end{cases}
\quad \Rightarrow \quad
15\sqrt{5}=5t
\quad \Rightarrow \quad
t=3\sqrt{5}
\] ossia: \[
5\sqrt{5}=2a(3\sqrt{5})^2+3\sqrt{5}
\quad \Rightarrow \quad
2\sqrt{5}=2a(9 \cdot 5)
\quad \Rightarrow \quad
a=\frac{\sqrt{5}}{45}.
\] Quindi, ricapitolando, la rototraslazione: \[
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1/\sqrt{5} & -2/\sqrt{5} \\
2/\sqrt{5} & 1/\sqrt{5} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
u \\
v \\
\end{bmatrix}+
\begin{bmatrix}
0 \\
3 \\
\end{bmatrix}
\] ci permette di trasformare l'equazione \(f(x,y)=0\) nell'equazione \(u=\frac{\sqrt{5}}{45}v^2\).

Ciò fatto, risulta immediato determinare il fuoco in coordinate \(u,v\) ricordando le formulazioni di geometria elementare, quella che si vede alle scuole superiori tanto per intenderci, quindi determinare le rispettive coordinate \(x,y\) tramite le relazioni che da qualche ora stiamo maltrattando. Forza, avanti!

[ZfreS]

Beh, per il fuoco, data la parabola nella forma $y^2=2px$ le coordinate del fuoco sono $F(p/2,0)$, quindi se nel nostro caso $p=sqrt(5)/45$ allora il fuoco avrà coordinate $F(2sqrt(5)/45, 0)$.
Ma dove l'esercizio chiedeva l'equazione cartesiana, non ho capito se si riferisse alla forma canonica, o all'altra

[sellacollesella]

Data la parabola nella forma $ y^2=2px $ le coordinate del fuoco sono $ F(p/2,0) $.

Sì.

Nel nostro caso $ p=sqrt(5)/45 $.

No.

[ZfreS]

Giusto, $p=sqrt(5)/90$, quindi $F(4sqrt(5)/90, 0)$

[sellacollesella]

No, no e ancora no! Ma scherziamo?!

Scrivere \(v^2=2p\,u\) è la stessa cosa di scrivere \(u=\frac{1}{2p}v^2\).

Quindi, basta imporre \(\frac{1}{2p}=\frac{\sqrt{5}}{45}\) per calcolare \(p=\frac{9\sqrt{5}}{2}\).

Pertanto \(F=\left(\frac{p}{2},0\right)=\left(\frac{9\sqrt{5}}{4},0\right)\) sono le coordinate in \(u\), \(v\).

L'esercizio, però, ti chiede le coordinate di \(F\) in \(x,y\) ... forza!

[axpgn]

@sellacollesella

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Tu saresti da appendere a testa in giù per qualche ora, ti passerebbe tutta 'sta fretta!

Io ci sono già passato, adesso tocca a te

[ZfreS]

Perdonami, ma continuo a scambiare u e v la corrispondenza tra x e y. Perciò all'inizio ho messo $p=sqrt(5)/45$.
Ora però, avendo ricondotto in forma canonica la parabola, non saremmo già in x e y?

[sellacollesella]

Quando si svolgono esercizi di questo tipo la regola numero uno è mettere in chiaro il nome delle coordinate, altrimenti poi si solleva un polverone talmente intenso che non ci si capisce più nulla, assicurato! Quindi, nello specifico, l'equazione cartesiana \(f(x,y)=0\) della parabola non la conosciamo e sarà proprio l'ultima cosa di cui dovremmo preoccuparci e solo perché obbligati dall'esercizio, altrimenti a mio modo di vedere non è di alcuna utilità, solo una sberla di simboli mal odoranti.

D'altro canto, l'equazione bella e profumata è quella in forma canonica, ossia: \[
u=av^2
\] dato che di questa abbiamo tutte le informazioni di cui necessitiamo gratuitamente:

• vertice \((u_V,v_V)=(0,0)\);
  
  
• fuoco \((u_F,v_F)=(1/(4a),0)\);
  
  
• asse di simmetria \(v = 0\);
  
  
• direttrice \(u = -1/(4a)\).

A questo punto, per ottenere le rispettive coordinate in \(x,y\) è sufficiente servirsi delle trasformazioni di cui sopra, altrimenti per cosa le abbiamo determinate a fare? Insomma, ogni cosa ha il suo perché. Avanti!


@axpgn:

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In che senso? Vuoi appendere pure me? Chiama una buona gru che peso un po'.

[ZfreS]

Ho capito, se il fuoco in coordinate u e v è $F(9sqrt(5)/4,0)$, allora in coordinate x e y sarà: $F(9/4,15/2)$, sempre se non sbaglio conti.