Come hai giustamente scritto, basta sostituire, ossia: \[
\begin{bmatrix}
-5 \\
8 \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1/\sqrt{5} & -2/\sqrt{5} \\
2/\sqrt{5} & 1/\sqrt{5} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
at^2 \\
t \\
\end{bmatrix}+
\begin{bmatrix}
0 \\
3 \\
\end{bmatrix}
\] il quale non è altro che un sistema di due equazioni nelle incognite \(a\) e \(t\).
D'altro canto, bisogna pur fare i conti in modo corretto: \[
\begin{cases}
-5=at^2/\sqrt{5}-2t/\sqrt{5}\\
5=2at^2/\sqrt{5}+t/\sqrt{5}\\
\end{cases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{cases}
10\sqrt{5}=-2at^2+4t\\
5\sqrt{5}=2at^2+t\\
\end{cases}
\quad \Rightarrow \quad
15\sqrt{5}=5t
\quad \Rightarrow \quad
t=3\sqrt{5}
\] ossia: \[
5\sqrt{5}=2a(3\sqrt{5})^2+3\sqrt{5}
\quad \Rightarrow \quad
2\sqrt{5}=2a(9 \cdot 5)
\quad \Rightarrow \quad
a=\frac{\sqrt{5}}{45}.
\] Quindi, ricapitolando, la rototraslazione: \[
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1/\sqrt{5} & -2/\sqrt{5} \\
2/\sqrt{5} & 1/\sqrt{5} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
u \\
v \\
\end{bmatrix}+
\begin{bmatrix}
0 \\
3 \\
\end{bmatrix}
\] ci permette di trasformare l'equazione \(f(x,y)=0\) nell'equazione \(u=\frac{\sqrt{5}}{45}v^2\).
Ciò fatto, risulta immediato determinare il fuoco in coordinate \(u,v\) ricordando le formulazioni di geometria elementare, quella che si vede alle scuole superiori tanto per intenderci, quindi determinare le rispettive coordinate \(x,y\) tramite le relazioni che da qualche ora stiamo maltrattando. Forza, avanti!