Determinante e Volume di un n-parallelepipedo

[gaspare]

Grazie mille , purtroppo essendo non frequentante seguo le dispense e il libro, ma proverò a prendere contatti con il professore.

Sempre se aveste voglia, mi piacerebbe riportare la seconda parte dubbia:


Alternativamente, il volume è dato dalla formula $sqrt(det(vi · vj ))$ (sempre pos-
itivo). La matrice $(vi · vj )$ coincide infatti con la matrice prodotto $M^t · M$ .

OSS: Siano dati k vettori ${v1, . . . , vk}$ in Rn. Consideriamo il parallelogramma
generato da essi. In questo caso, per calcolare il volume rispetto al prodotto
scalare standard, possiamo usare la formula $sqrt(det(vi · vj ))$. Infatti, a meno di
trasformazioni ortogonali, possiamo supporre che i vettori appartengano a $RR^k ×
0 ≤ RR^n$ e quindi ci riportiamo nella situazione in cui il numero k di vettori
coincide con la dimensione dell’ambiente Rk.
Più in generale, dati k vettori R{v1, . . . , vk}R in uno spazio Euclideo $(V, ·)$, il
volume del parallelogramma da essi generato coincide con $sqrt(det(vi · vj ))$ perché
qualunque base ortonormale per V genera una isometria con R^n, e quindi ci
riportiamo nella situazione precedente

Sulla parte di $sqrt(det(vi · vj ))$ mi pare chiaro, meno chiaro è il discorso:

"Infatti, a meno di
trasformazioni ortogonali, possiamo supporre che i vettori appartengano a $RR^k ×
0 ≤ RR^n$ e quindi ci riportiamo nella situazione in cui il numero k di vettori
coincide con la dimensione dell’ambiente Rk."

Credo di non aver ben capito cosa voglia fare.

E quando dice:

perché qualunque base ortonormale per V genera una isometria con R^n, e quindi ci
riportiamo nella situazione precedente

come si riconduca al precedente.


Onestamente ci ho ragionato molto, ma non ho concluso granché

[Martino]

Il fatto che il volume sia dato dalla radice quadrata che hai scritto è chiaro, perché puoi scrivere tutti i vettori $v_i$ usando una base ortonormale $w_1,...,w_k$ dello spazio generato da $v_1,...,v_k$ e a questo punto puoi trattarli a tutti gli effetti come vettori di $RR^k$ identificando $a_1w_1+...+a_kw_k$ con la $k$-upla $(a_1,...,a_k)$. Questo è utile perché ti permette di calcolare il volume $k$-dimensionale generato da $k$ vettori $v_1,...,v_k$ anche se lo spazio ambiente $RR^n$ ha dimensione $n$ maggiore del numero di vettori $k$. La dimostrazione è semplice: dopo aver scritto tutto usando una base ortonormale, puoi pensare di avere $k$ vettori in $RR^k$ e il volume è, come al solito, $|det(M)|$ dove $M$ è la matrice che ha i $v_i$ come colonne (o come righe, non cambia niente), d'altra parte
$|det(M)| = sqrt(det(M)^2) = sqrt(det(M)*det(M)) = sqrt(det(M^t)*det(M)) = sqrt(det(M^t*M))$.
Il punto è che la matrice $M^t * M$ può essere calcolata senza dover passare per una base ortonormale, basta fare $A^t * A$ dove $A$ è la matrice che ha i $v_i$ come colonne (e quindi $A$ è una matrice con $n$ righe e $k$ colonne).

[gaspare]

Certamente, quello che dici era la giustificazione che mi ero dato e per quello dicevo "Sulla parte di $sqrt(det(vi · vj ))$ mi pare chiaro".

In realtà non ho capito come riconduca poi quel ragionamento fatto nei due punti:

"Infatti, a meno di
trasformazioni ortogonali, possiamo supporre che i vettori appartengano a $RR^k ×
0 ≤ RR^n$ e quindi ci riportiamo nella situazione in cui il numero k di vettori
coincide con la dimensione dell’ambiente Rk."

Banalmente non capisco cosa stia dicendo con $RR^k × 0 ≤ RR^n$ e che c'azzeccasse con il discorso della radice/determinante/trasposta ecc svolto.

Inoltre poi dice:

perché qualunque base ortonormale per V genera una isometria con R^n, e quindi ci
riportiamo nella situazione precedente

non capisco il discorso della isometria e cosa cerchi di tramadarmi.

erano queste le due domande in reatà, perché non ho afferrato cosa volesse dirmi. il resto mi è chiaro.

[Martino]

Eh però le risposte le trovi nel mio intervento precedente, non saprei cosa aggiungere.

[gaspare]

Allora sono solo scemo XD.

Il fatto che non credo di aver capito $RR^k × 0 ≤ RR^n$, cioè mi sembra che voglia dire che se ho uno spazio $RR^n$ lo spazio $RR^k × 0$ ne è sottospazio. Il ragionamento della radice lo capisco se ho n vettori, li identifico con la n-upla tramite isomorfismo coordinato e faccio tutto il ragionamento sul determinante.

Ma cosa accade se ho k vettori? $RR^k × 0 ≤ RR^n$ questo dice che il prodotto cartesiano di Rk con 0 è sottospazio di Rn e quindi? Non ho proprio capito

[Martino]

Hai $k$ vettori $v_1,...,v_k$ linearmente indipendenti, chiamiamo $W$ lo spazio generato da essi. Ovviamente $W$ è un sottospazio di $RR^n$ e $dim(W)=k$. Ora, possiamo scegliere una base ortonormale di $W$, chiamiamola $w_1,...,w_k$, e completare tale base a una base di $RR^n$, chiamiamola $w_1,...,w_k,w_(k+1),...,w_n$. Scrivendo tutto in questa base, e identificando la scrittura $a_1w_1+...+a_nw_n$ con la $n$-upla $(a_1,...,a_n)$, è chiaro che i vettori $v_1,...,v_k$ saranno identificati con particolari $n$-uple tutte del tipo $(a_1,...,a_k,0,...,0)$, cioè elementi di $RR^k xx 0$. In altre parole, a meno di cambiare base, possiamo identificare $W$ con il sottospazio $RR^k xx 0$ di $RR^n$. Questa identificazione è compatibile con il prodotto scalare (cioè il prodotto scalare fatto in $W$ coincide con quello fatto in $RR^k xx 0$ quando passi ai vettori corrispondenti), perché abbiamo scelto una base ortonormale di $W$.

[gaspare]

Grazie per la spiegazione chiarificatrice!