Problema con iperbole

[ZfreS]

Perdonami, ma non ricordando cosa avevo corretto, ho scambiato l'asintoto per l'asse di simmetria. Rifacendo i conti, mi tornano quei valori di seno e coseno, ma che io ricavo dalla seconda relazione fondamentale, non mi è chiara la relazione tra norma di un vettore e seno e coseno. Ad ogni modo, data quella matrice, il centro si ricava come intersezione tra l'asse di simmetria e l'asintoto, quindi $C=(-5/3,-1/3)$. Non capisco perché dici che seno e coseno sono da ricavare dagli assi di simmetria, se li abbiamo già trovati. L'altro asse dovrebbe essere: $y=-2x+3$.

[sellacollesella]

I dati li hai scritti tu, non io, ossia siamo interessati all'iperbole caratterizzata da:

• un asse di simmetria: \(x−2y+1=0\);
  
  
• un asintoto: \(4x-3y-1=0\);
  
  
• un punto di passaggio: \(A(1,2)\).

Pertanto, il centro di tale iperbole si determina intersecando asse di simmetria e asintoto: \[
\begin{cases}
x−2y+1=0\\
4x-3y-1=0\\
\end{cases}
\quad \Rightarrow \quad C(1,1).
\] Il fatto che a te risulti \(C(-5/3,-1/3)\) non solo ti farebbe guadagnare la bocciatura, ma probabilmente anche l'impossibilità di sostenere l'esame per almeno 10 anni di fila; si tratta di un'operazione ridicola!

A questo punto possiamo anche determinare l'altro asse di simmetria quale retta passante per \(C\) e perpendicolare a \(x-2y+1=0\), che pertanto avrà equazione cartesiana \(2x+y-3=0\). Bene.

Quindi, dai due assi di simmetria possiamo mungere le seguenti informazioni: \[\small
\begin{aligned}
& x-2y+1=0
\quad \Rightarrow \quad
(x,y)=(t,t/2+1/2), \; t \in \mathbb{R}
\quad \Rightarrow \quad
\vec{v}_1=(1,1/2)
\quad \Rightarrow \quad
\hat{v}_1=(2/\sqrt{5},1/\sqrt{5}); \\
\\
& 2x+y-3=0
\quad \Rightarrow \quad
(x,y)=(t,-2t+3), \; t \in \mathbb{R}
\quad \Rightarrow \quad
\vec{v}_2=(1,-2)
\quad \Rightarrow \quad
\hat{v}_2=(1/\sqrt{5},-2/\sqrt{5}); \\
\end{aligned}
\] che essendo i versori direzione degli assi di simmetria, le loro componenti sono coseno e seno di \(\theta\).

Alla luce di tutto ciò, se da un lato il vettore traslazione si palesa in \(C\), la matrice di rotazione non è dato sapersi, perlomeno fino ad ora, se andrà costruita con le componenti di \(\hat{v}_1\) o con le componenti di \(\hat{v}_2\), in quanto non sappiamo su quale asse di simmetria giacciono i fuochi dell'iperbole oggetto della richiesta.

Pertanto, non ci rimane che provare una delle due scelte e se nel proseguo dei calcoli si arriverà ad un'equazione impossibile significa che la scelta fatta a monte è sbagliata, altrimenti che è corretta.

Dato che non ho intenzione di rimanere qui fino a Pasqua, ti dico già che occorrerà usare \(\hat{v}_2\), ossia: \[
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1/\sqrt{5} & 2/\sqrt{5} \\
-2/\sqrt{5} & 1/\sqrt{5} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
u \\
v \\
\end{bmatrix}+
\begin{bmatrix}
1 \\
1 \\
\end{bmatrix}
\] da cui, al solito, la trasformazione inversa risulta essere: \[
\begin{bmatrix}
u \\
v \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1/\sqrt{5} & -2/\sqrt{5} \\
2/\sqrt{5} & 1/\sqrt{5} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x-1 \\
y-1 \\
\end{bmatrix}.
\] Ora e solo ora possiamo sfruttare le rimanenti informazioni circa l'asintoto e il punto di passaggio: \[
v=\pm\frac{b}{a}u,
\quad \quad \quad
\frac{u^2}{a^2}-\frac{v^2}{b^2}=1
\] che suppongo tu sappia sfruttare al meglio, no?

[ZfreS]

Per il primo punto, ho di nuovo confuso due equazioni, quindi non mi risultava quel sistema, grazie per aver corretto e messo in chiaro i dati. Ora per l'asintoto posso scrivere $v=+-b/au$ come $\{(2/sqrt(5)(x-1)+1/sqrt(5)(y-1)=b/a(1/sqrt(5)(x-1)-2/sqrt(5)(y-1))), ((1/sqrt(5)(x-1)-2/sqrt(5)(y-1))^2/a^2-(2/sqrt(5)(x-1)-1/sqrt(5)(y-1))^2/b^2=1):}$. Ora sostituire a x e y i valori 1,2 e quindi trovare i valori per a e b $\{(a_1=-sqrt(3)/2), (b_1=sqrt(3)):}$ e $\{(a_2=sqrt(3)/2), (b_2=-sqrt(3)):}$. Quindi avrei determinato due iperboli anziché una sola. Noto questo, l'altro asintoto è $v=+-2u$ e l'equazione cartesiana è $4/3u^2-1/3v^2=1$

[sellacollesella]

Se tu facessi così otterresti un sistema impossibile; quelle soluzioni non sono farina del tuo sacco.

Quindi, focalizzando l'attenzione sugli asintoti, abbiamo: \[\small
v=\frac{b}{a}\,u
\quad \Rightarrow \quad
\left(\frac{2(x-1)}{\sqrt{5}}+\frac{y-1}{\sqrt{5}}\right)=\frac{b}{a}\left(\frac{x-1}{\sqrt{5}}-\frac{2(y-1)}{\sqrt{5}}\right)
\quad \Rightarrow \quad
y = \frac{b-2a}{a+2b}\,x + \frac{3a+b}{a+2b}
\] e imponendo che un asintoto sia \(y = \frac{4}{3}x-\frac{1}{3}\) si ottiene: \[
\begin{cases}
(b-2a)/(a+2b)=4/3 \\
(3a+b)/(a+2b)=-1/3 \\
\end{cases}
\quad \Rightarrow \quad
b = -2a.
\] Ciò vuol dire che se al posto di \(b\) sostituisci \(-2a\) ottieni \(y = \frac{4}{3}x-\frac{1}{3}\), mentre se sostituisci \(2a\) ottieni \(y=1\), che sono per l'appunto i due asintoti dell'iperbole tanto agognata. D'altro canto, da qui in poi la relazione da considerare è \(b=2a\), dato che è ovvio dover essere \(a>0\) e \(b>0\).

In particolare, se ora sfruttiamo l'ultimo dato a nostra disposizione, ossia il punto di passaggio \(A(1,2)\), si ha: \[\small
\frac{u_A^2}{a^2}-\frac{v_A^2}{(2a)^2}=1
\quad \Rightarrow \quad
4\left(\frac{1-1}{\sqrt{5}}-\frac{2(2-1)}{\sqrt{5}}\right)^2-\left(\frac{2(1-1)}{\sqrt{5}}+\frac{2-1}{\sqrt{5}}\right)^2=4a^2
\quad \Rightarrow \quad
(a,b) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2},\sqrt{3}\right)
\] dove, ribadisco, la soluzione è accettabile se \(a\) è reale e positiva, altrimenti va rifiutata!

Ora hai a disposizione tutti i dati per calcolare qualsivoglia caratteristica di tale iperbole.

[ZfreS]

In che senso non è farina del mio sacco hahaha? I conti gli ho fatti a mano e ho dovuto escludere una soluzione che non avrebbe condotto da nessuna parte. Non capisco perché sia sbagliato imporre il passaggio per il punto, ma bisogna ricavare y per uguagliarlo all'asintoto. A prescindere, avevo ottenuto pure io da quel sistema che $b=-2a$ e poi perché consideri $b=2a$? Perché sparisce il segno?

[sellacollesella]

In che senso non è farina del mio sacco hahaha? I conti gli ho fatti a mano e ho dovuto escludere una soluzione che non avrebbe condotto da nessuna parte.

Perché hai scritto che nel sistema che hai riportato avresti sostituito \(x=1\) e \(y=2\) ad entrambe le equazioni. Così facendo si giunge ad un sistema impossibile; è un fatto indiscutibile, punto e a capo. Se nel seguito affianchi le soluzioni corrette è altrettanto ovvio che tu le abbia copiate (da dove non ha importanza).

Non capisco perché sia sbagliato imporre il passaggio per il punto, ma bisogna ricavare y per uguagliarlo all'asintoto.

Per un motivo palese: quel punto appartiene solo all'iperbole, non appartiene anche all'asintoto.

e poi perché consideri $ b=2a $? Perché sparisce il segno?

Gli asintoti sono due: \(v = \pm(b/a)\,u\). Nel fare i conti si è soliti non considerare \(\pm\), ma alla fine dei conti occorre considerare entrambi i segni, quindi sia \(b=-2a\) che \(b=2a\). Questo per quanto concerne gli asintoti. Poi, da quando mondo è mondo, le lunghezze sono positive, quindi \(a>0\) e \(b>0\), ossia \(b=2a\).

[ZfreS]

Scusami, ma rifaccio i conti anche per me stesso per la prima equazione:
$2/sqrt(5)(1-1)+1/sqrt(5)(2-1)=b/a(1/sqrt(5)(1-1)-2/sqrt(5)(2-1))$
$0+1/sqrt(5)=b/a(0-2/sqrt(5))$
$1/sqrt(5)=-(2b)/(asqrt(5))$
$a=-2b$
Ok, hai ragione, mi viene $a=-2b$ e non $b=-2a$, ma continuando i conti da questa, trovo l'equazione che ti ho riportato. Errore mio, come sempre.

Vista la tua bravura, non so se tu sia un docente o chi altro, ti chiederei un consiglio, come vedi trovo difficoltà a capire certi punti stupidi, forse non mi è del chiaro come funziona il tutto.

[sellacollesella]

Come vedi, dalla prima ottieni \(a=-2b\), che se sostituita nella seconda porta a \(0=1\); impossibile.

In ogni modo, calcolati \(a=\sqrt{3}/2\) e \(b=\sqrt{3}\) poi puoi determinare tutto, ottenendo:



Il fatto che insista nel riportare il grafico degli oggetti geometrici manipolati durante la risoluzione è perché
lo ritengo fondamentale per avere in testa un'idea di massima della configurazione geometrica generale, la quale poi ti guiderà nella risoluzione di qualsivoglia esercizio di questo tipo. Altrimenti occorre inzozzare la mente di tonnellate di formule spazzatura e poi finire per non azzeccare nemmeno un calcolo che sia uno!

Sia chiaro, tutte le mie critiche sono rivolte alla tua preparazione, non alla tua persona, sulla quale nessuno ha il diritto di proferire parola, specie tra sconosciuti a caso su internet. Inoltre, vorrei chiarire che non ho alcuna qualifica se non il diploma di scuola superiore (per ora), ma questo importa un bel nulla, se come nickname avessi scelto professorcicoria non avresti dovuto aver in alcun modo timore riverenziale, tu devi andare dritto per la tua strada e cercare di migliorare la tua preparazione, i titoli degli altri sono irrilevanti.

In conclusione, per quel che possa valere, il mio consiglio è quello di fare un passo (forse anche dieci) indietro e ricominciare da concetti più semplici, sia geometrici che algebrici. Tanto per intenderci, se trovi difficoltà a risolvere un sistema di due equazioni lineari in due incognite forse è il caso ricominciare da lì, cercando di non aver alcun dubbio al riguardo. Quindi, cercherei di studiare la teoria e di fare esercizi elementari sulla retta, poi sulle rette, poi su rette e qualcos'altro, tipo le coniche. Insomma, il trucco è colmare tutte le lacune pregresse, altrimenti non si va da nessuna parte. In bocca al lupo per tutto, ciao!

[ZfreS]

Grazie per la risposta e per l'aiuto che mi hai sempre dato. Sembra strano che tu abbia solo un diploma, poichè questi sono argomenti universitari e tu ne hai grande padronanza. Accoglierò i tuoi consigli. Complimenti e grazie ancora!