Problema con iperbole

[ZfreS]

Buon giorno. Ho un problema con questo esercizio sull'iperbole: nel piano euclideo con riferimento cartesiano Oxy si consideri l’iperbole passante per il punto $A(−1,−2)$, avente un asse di simmetria coincidente con la retta
$r : x−2y+1=0$ e un asintoto coincidente con la retta $y−1=0$.
Determinare l’equazione dell’altro asintoto, del centro, dell’altro asse di simmetria e l’equazione cartesiana dell’iperbole nel riferimento cartesiano Oxy. Determinare una forma canonica dell'iperbole, una rototraslazione che la riduce in tale forma e la distanza tra i suoi vertici.

Conoscendo l'asse di simmetria e un asintoto, posso trovare la loro intersezione e quindi il centro, ma come trovo l'altro asintoto? So che hanno equazione $y=+-b/ax$ e sapendo come trovare l'altro asintoto, il suo punto di intersezione con l'altro asse di simmetria sarebbe sempre il centro trovato prima, e infine con queste informazioni si ottiene l'equazione cartesiana. Sapreste suggerirmi come ricavare l'altro asintoto?

[sellacollesella]

Conoscendo l'asse di simmetria e un asintoto, posso trovare la loro intersezione e quindi il centro.

Ok.

Ma come trovo l'altro asintoto? So che hanno equazione $y=+-b/ax$.

Ti sembra che l'asintoto \(y=1\) sia di quel tipo?


Così come per la parabola, anche per l'iperbole abbiamo una forma canonica: \[
\frac{u^2}{a^2}-\frac{v^2}{b^2}=1
\] ancora una volta ottenibile per rototraslazione: \[
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta \\
\sin\theta & \cos\theta \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
u \\
v \\
\end{bmatrix}+
\begin{bmatrix}
x_C \\
y_C \\
\end{bmatrix}
\] e per la quale è facile ricordare le seguenti caratteristiche:

• centro \((u_C,v_C)=(0,0)\);
  
  
• vertici \((u_V,v_V)=(\pm a,0)\);
  
  
• fuochi \((u_F,v_F)=(\pm \sqrt{a^2+b^2},0)\);
  
  
• assi di simmetria \(u=0\), \(v=0\);
  
  
• asintoti \(v=\pm(b/a)u\).

Dunque, al solito, il primo passo consiste nel calcolare \(\cos\theta\), \(\sin\theta\), \(x_C\), \(y_C\), quindi non indugerei oltre nell'invertire tale trasformazione per determinare \(u\), \(v\), in funzione di \(x\), \(y\). Forza, dai, procedi!


P.S.: controlla se i dati che hai scritto qui nel Forum coincidono con quelli scritti nel testo dell'esercizio.

[ZfreS]

No, effettivamente il punto di passaggio è $A(1,2)$ e l'asintoto è $4x-3y-1=0$. Detto ciò, prima di trovare la forma canonica, dovrei trovare l'altro asintoto e l'altro asse di simmetria. Che informazione posso sfruttare?

[sellacollesella]

Conoscendo un asse di simmetria e un asintoto è banale determinare sia il centro che l'altro asse di simmetria, mentre non mi risulta altrettanto semplice determinare l'altro asintoto, se non passando per la suddetta trasformazione geometrica, che pertanto determinerei immediatamente a prescindere da tutto.

Tra l'altro, qui bisogna pure stare attenti su quale asse di simmetria scegliere per la rotazione, dato che
non sappiamo a priori lungo quale vi siano i fuochi, quindi bisognerà aggiustare i conti strada facendo.

[ZfreS]

Ok sul trovare il centro, ma come l'altro asse di simmetria? Per l'asintoto mi sembra strano che venga chiesto prima di aver determinato la trasformazione, può darsi ci sia un modo per farlo. In realtà, i dati di prima li ho confusi con un altro esercizio simile, in cui effettivamente l'asintoto era $y=1$, in casi come questi come è possibile che non rispettino la forma $y=+-b/ax$?

[sellacollesella]

Ok sul trovare il centro, ma come l'altro asse di simmetria?

Retta passante per un punto noto e perpendicolare ad un'altra retta.

Per l'asintoto mi sembra strano che venga chiesto prima di aver determinato la trasformazione.

Si tratta di problemi del tutto standard, non andrei ad inerpicarmi, seguirei la solita strada.

In casi come questi come è possibile che non rispettino la forma $ y=+-b/ax $?

Come puoi apprezzare dallo schema di cui sopra, si tratta degli asintoti di un'iperbole in forma canonica.

[ZfreS]

Ok va bene, quindi per la rototraslazione, procedo come nell'altro esercizio, se non erro nei conti dovrebbe venire così: $[[x],[y]]=[[3/5,-4/5],[4/5,3/5]][[u],[v]]+[[0],[-1/3]]$

[sellacollesella]

Se mostri i passaggi che ti hanno condotto a quella rototraslazione possiamo capire dove stanno gli errori.

[ZfreS]

Non capisco, dove dovrebbe essere l'errore. Ho fatto gli stessi passaggi che ho fatto nell'altro esercizio.
ho riscritto la retta come $y=4/3x-1/3$, quindi la traslazione avviene del vettore $[[0],[-1/3]]$ mentre dal coefficiente angolare ho ricavato seno e coseno dell'angolo, essendo $4/3=tgalpha$

[sellacollesella]

Non capisco, dove dovrebbe essere l'errore. Ho fatto gli stessi passaggi che ho fatto nell'altro esercizio.

Io invece non capisco come riusciate ad inventarvi le cose e non rendervene conto. È gravissimo.

Nell'esercizio sulla parabola assegnavano il vertice \(V(0,3)\) e l'asse di simmetria \(2x-y+3=0\).

Pertanto, il vettore traslazione si palesava in \(V\), mentre la matrice di rotazione si costruiva estraendo seno e coseno dall'asse di simmetria. In particolare, dato che lo possiamo parametrizzare come \((x,y)=(t,2t+3)\) con \(t \in \mathbb{R}\), ne consegue che il vettore direttore sia \(\vec{v}=(1,2)\) che normalizzato porta a \(\hat{v}=(1/\sqrt{5},2/\sqrt{5})\). Come già scritto, non c'è alcun bisogno di tirare in ballo tangenti e arcotangenti, si perde solo del tempo!

È grazie a tali informazioni che la rototraslazione si scriveva come: \[
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1/\sqrt{5} & -2/\sqrt{5} \\
2/\sqrt{5} & 1/\sqrt{5} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
u \\
v \\
\end{bmatrix}+
\begin{bmatrix}
0 \\
3 \\
\end{bmatrix}.
\] In questo caso, sono noti un asse di simmetria: \(x-2y+1=0\) e un asintoto: \(4x-3y-1=0\), quindi seppur vi siano delle forti analogie con l'esercizio sulla parabola (e in generale con gli esercizi sulle coniche non degeneri: ellisse, parabola, iperbole) ci sono anche delle grosse differenze!

Innanzitutto qui non abbiamo il vertice, bensì abbiamo detto e ridetto che ci serve il centro: qual è?

Inoltre, seno e coseno della rotazione si devono estrarre da uno dei due assi di simmetria, non di certo da uno dei due asintoti! Per cui, prima di fare ciò, occorre determinare anche il secondo asse di simmetria, il quale a sua volta dovendo passare per il centro ed essere perpendicolare all'altro asse di simmetria...