I dati li hai scritti tu, non io, ossia siamo interessati all'iperbole caratterizzata da:
- un asse di simmetria: \(x−2y+1=0\);
- un asintoto: \(4x-3y-1=0\);
- un punto di passaggio: \(A(1,2)\).
Pertanto, il centro di tale iperbole si determina intersecando asse di simmetria e asintoto: \[
\begin{cases}
x−2y+1=0\\
4x-3y-1=0\\
\end{cases}
\quad \Rightarrow \quad C(1,1).
\] Il fatto che a te risulti \(C(-5/3,-1/3)\) non solo ti farebbe guadagnare la bocciatura, ma probabilmente anche l'impossibilità di sostenere l'esame per almeno 10 anni di fila; si tratta di un'operazione ridicola!
A questo punto possiamo anche determinare l'altro asse di simmetria quale retta passante per \(C\) e perpendicolare a \(x-2y+1=0\), che pertanto avrà equazione cartesiana \(2x+y-3=0\). Bene.
Quindi, dai due assi di simmetria possiamo mungere le seguenti informazioni: \[\small
\begin{aligned}
& x-2y+1=0
\quad \Rightarrow \quad
(x,y)=(t,t/2+1/2), \; t \in \mathbb{R}
\quad \Rightarrow \quad
\vec{v}_1=(1,1/2)
\quad \Rightarrow \quad
\hat{v}_1=(2/\sqrt{5},1/\sqrt{5}); \\
\\
& 2x+y-3=0
\quad \Rightarrow \quad
(x,y)=(t,-2t+3), \; t \in \mathbb{R}
\quad \Rightarrow \quad
\vec{v}_2=(1,-2)
\quad \Rightarrow \quad
\hat{v}_2=(1/\sqrt{5},-2/\sqrt{5}); \\
\end{aligned}
\] che essendo i versori direzione degli assi di simmetria, le loro componenti sono coseno e seno di \(\theta\).
Alla luce di tutto ciò, se da un lato il vettore traslazione si palesa in \(C\), la matrice di rotazione non è dato sapersi, perlomeno fino ad ora, se andrà costruita con le componenti di \(\hat{v}_1\) o con le componenti di \(\hat{v}_2\), in quanto non sappiamo su quale asse di simmetria giacciono i fuochi dell'iperbole oggetto della richiesta.
Pertanto, non ci rimane che provare una delle due scelte e se nel proseguo dei calcoli si arriverà ad un'equazione impossibile significa che la scelta fatta a monte è sbagliata, altrimenti che è corretta.
Dato che non ho intenzione di rimanere qui fino a Pasqua, ti dico già che occorrerà usare \(\hat{v}_2\), ossia: \[
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1/\sqrt{5} & 2/\sqrt{5} \\
-2/\sqrt{5} & 1/\sqrt{5} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
u \\
v \\
\end{bmatrix}+
\begin{bmatrix}
1 \\
1 \\
\end{bmatrix}
\] da cui, al solito, la trasformazione inversa risulta essere: \[
\begin{bmatrix}
u \\
v \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1/\sqrt{5} & -2/\sqrt{5} \\
2/\sqrt{5} & 1/\sqrt{5} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x-1 \\
y-1 \\
\end{bmatrix}.
\] Ora e solo ora possiamo sfruttare le rimanenti informazioni circa l'asintoto e il punto di passaggio: \[
v=\pm\frac{b}{a}u,
\quad \quad \quad
\frac{u^2}{a^2}-\frac{v^2}{b^2}=1
\] che suppongo tu sappia sfruttare al meglio, no?