Teorema della potenza k-esima della matrice di adiacenza (teoria dei grafi)

[HowardRoark]

Stavo provando a giocare col teorema della potenza k-esima di una matrice di adiacenza $A$, secondo il quale: se si ha un grafo non orientato e semplice e $A^k(i,j)$ è il generico elemento della potenza k-esima di $A$ nella posizione $(i,j)$, allora $A^k(i,j)$ è il numero di cammini di lunghezza $k$ tra $v_i$ e $v_j$.

Considero allora un grafo con due cappi (quindi non semplice) e verifico che il teorema non si applica. La matrice di adiacenza di questo grafo è $A=((1,1,0), (1,0,1), (0,1,1))$ e come si può vedere $v_1$ e $v_3$ hanno un cappio.
$A^2 = ((2,1,1), (1,2,1), (1,1,2))$ e poiché il numero di cammini di lunghezza 2 tra $v_1$ e $v_1$ è $1$ (e non $2$ come scritto nella matrice), allora capisco che il teorema non si applica.
Quello che vorrei capire è: perché non è valido?
Ho provato a ricostruire la dimostrazione del teorema fatta in classe ma non ne vengo comunque a capo. Lo abbiamo dimostrato per induzione.

1) Passo base per $k=1$ si ottiene $A$ e per definizione di matrice di adiacenza è verificato.

2) Passo induttivo: $A^k (i,j)$: numero di cammini di lunghezza $k$ tra $v_i$ e $v_j$ (la assumo vera). Devo quindi dimostrare che $A^(k+1)(i,j)$: numero di cammini di lunghezza $k+1$ tra $v_i$ e $v_j$.

Il generico elemento della matrice $A^(k+1)$ è dato da: $A^(k+1) (i,j) = \sum_{m=1}^n A^k(i,m) * A (m,j)$, dove $n$ è il numero di vertici del generico grafo. $A^k(i,m)$ per ipotesi induttiva è il numero di cammini di lunghezza $k$ tra $v_i$ e $v_m$; $A(m,j)$ per il passo base indica se c'è un arco tra $v_m$ e $v_j$, e può valere $0$ o $1$. Quindi a me sembra dimostrato che $A^(k+1)(i,j)$ sia il numero di cammini di lunghezza $k+1$ tra $v_i$ e $v_j$ anche sotto l'ipotesi che ci possano essere dei cappi, però come ho scritto prima in realtà tale teorema non si applica se ci sono cappi.
Quindi: perché il teorema non funziona sotto l'ipotesi che ci sono dei cappi tra i vertici?

EDIT: in realtà credo di essermi sbagliato a contare i cammini e il teorema mi sembra valido anche in presenza di cappi. Siccome noi però lo abbiamo dimostrato sotto l'ipotesi che il grafo sia semplice, mi sembra interessante poter estendere il risultato anche ad altri tipi di grafo, quindi lascio il thread per cercare chiarimenti.

[apatriarca]

In linea di massima, il fatto che dimostri un teorema per un particolare insieme di ipotesi non vuol dire che il teorema sia invalido per un insieme di ipotesi più ristretto. Significa solo che per qualche ragione l'autore del libro/articolo/corso ha deciso di focalizzare la propria attenzione a questo caso specifico. Infatti il teorema funziona anche per grafi orientati con cappi e archi multipli.