Proprietà degli autovalori

[mau21]

Buonasera.
Ho una domanda da porre riguardo gli autovalori di un'applicazione composta:
so che, se "elevo alla $n$" un'applicazione lineare essa ammetterà $\lambda^n$ tra i suoi autovalori e, se moltiplico per $t$ un'applicazione lineare essa ammetterà $t*\lambda$ tra i suoi autovalori. Giusto?
Nel caso però in cui io effettui la composizione di due applicazioni lineari, c'è modo di determinare gli autovalori risultanti a partire dalla conoscenza di quelli di partenza?
Grazie mille!

[j18eos]

In generale no!

Esempio: Considera \(\displaystyle A=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
-1 & 0
\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix}\); la prima matrice non è diagonalizzabile, mentre la seconda matrice è diagonalizzabile (su \(\displaystyle\mathbb{R}\)). Adesso considera \(\displaystyle C=A\times B=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}\), questa è una matrice diagonalizzabile.

Non capisco se questo esempio possa aiutarti...

[mau21]

Ciao j18eos!
Grazie, in effetti anche avevo qualche dubbio in merito.
Ho posto questa domanda perchè, sulla dispensa del mio corso, è scritto che (ma magari a questo punto ne ho semplicemente frainteso il contenuto), dato un autovalore $lambda$ di $f$ con auto spazio associato $V(lambda)$ allora l'applicazione $Q(f)inEnd(V)$ ammette tra i suoi autovalori $Q(lambda)$ e l'autopazio associato $VQ(lambda)$ contiene $V(lambda)$.
Potresti per favore spiegarmi questa affermazione?
Grazie mille!

[mau21]

Le altre due proprietà che ho denunciato invece sono giuste, vero?
Grazie ancora!

[mau21]

*enunciato, scusami per il correttore!

[j18eos]

Ah, sì: le altre proprietà (d)enunziate sono corrette!

Sapresti dimostrarle da te?

[mau21]

Penso che il modo più semplice per farlo sia ragionare sulla matrice diagonale che contiene gli autovalori, moltiplicandola per uno scalare e componendola con se stessa.
Mi potresti però spiegare per favore cosa significhi l'enunciato sull'applicazione $Q(f)$ e come questo influisce sull'autovalore $lambda$ facendolo diventare $Q(lambda)$.
Mi sembrava di aver capito che fosse riferito alla composizione, se così non è mi potresti spiegare cosa significa esattamente perchè non l'ho capito.
Grazie ancora per il tempo dedicatomi!

[Martino]

Cosa intendi con $Q(f)$?

[mau21]

Veramente non ne sono sicuro, infatti ho chiesto a voi pensando di essere io a non capire cosa volesse dire...
Nella mia dispensa c'è scritto solo che:
Sia $lambda$ autovalore di $f$ con autospazio associato $V(lambda)$. Allora l'applicazione $Q(f)inEnd(V)$ ammette $Q(lambda)$ tra i suoi autovalori e l'autospazio associato $VQ(lambda)$
contiene $V(lambda)$.
Altro non c'è scritto.
Purtroppo non ho modo di mettermi in contatto con il docente per chiederglielo e quindi ho aperto questa discussione per capire se qualcuno sapeva interpretarlo.
Voi cosa ne pensate?
Grazie ancora per l'aiuto!

[Martino]

Non è una notazione universale, prova a leggere le pagine precedenti, sicuramente viene chiarita la notazione.