Proprietà degli autovalori

[mau21]

Va bene, comunque potrei farvi un'altra domanda, banale ma solo per sicurezza: se un esercizio chiede di determinare autovalori e autospazi di un'applicazione $f$, chiaramente essi sono equivalenti a quelli della dua matrice rappresentativa (non importa rispetto a quali basi, ortonormali o meno, perchè il polinomio caratteristico (e di conseguenza gli autovalori e gli autospazi) è un invariante), giusto?
Grazie ancora!

[Martino]

Sì quello che hai scritto nell'ultimo messaggio è giusto, gli autovalori sono gli stessi e naturalmente gli autospazi sono gli stessi ma scritti nella base scelta.

Penso che con $Q(f)$ intenda $f^2$, cioè la composizione tra $f$ e $f$. Confermi?

[mau21]

Grazie per la conferma!
Purtroppo non credo intendesse quello che hai scritto tu, perchè quest'altra proprietà viene enunciata precedentemente nella dispensa (e quindi non avrebbe senso ripetersi).
Forse intendeva semplicemente dire che, se io compongo un'applicazione $f$ con un'altra $Q$ posso ricavare gli autovalori dell'applicazione $Q(f)$ tramite la conoscenza di quelli di partenza (effettuando il prodotto riga per colonna, equivalente alla composizione nell'ambito delle matrici rappresentative, tra le due matrici diagonali di partenza).
Secondo voi può avere senso?
Grazie!
Un'ultima domanda: mi potreste dare una spiegazione formale del perchè calcolare gli autovalori della matrice permette di determinare anche quelli dell'applicazione lineare da essa rappresentata (la domanda che ho fatto prima), pensavo già fosse così e me lo avete confermato, però, in un esame, il testo dava una matrice $A$ dicendo che era la matrice rappresentativa di un'applicazione $f$ (che, invece, non specificava) e poi chiedeva, in due punti distinti, di calcolare gli autovalori e autospazi prima di $A$ e poi di $f$, motivando le risposte. Mi potreste dunque aiutare a trovare una spiegazione formale del perchè i due risultati sono equivalenti?
Grazie mille!

[Martino]

Sarebbe meglio che tu ci mostrassi il testo originale dei quesiti (quelli su $A$ e $f$), altrimenti è difficile. Voglio dire che potremmo rischiare di basarci su tuoi ricordi potenzialmente imprecisi.

Su $Q(f)$ sono sicuro che non sia la composizione tra $Q$ e $f$, anche perché poi hai scritto $Q(lambda)$, e questo cosa sarebbe? Forse intendi $Q(v)$?

[mau21]

Grazie ancora, il testo ce lo farò leggere non appena l'avrò ritrovato...
Purtroppo no, sulla dispensa c'è scritto esplicitamente $Q(lambda)$...

[mau21]

Per quanto riguarda la composizione, certamente mi fido del fatto che, se mi dici che non è così, allora non sia così.
Però, come discorso generale (distaccandosi un attimo dalla dispensa) in teoria è corretto, no?
Se io ho un'applicazione $f$ con matrice diagonale $F=[[a,0],[0,b]]$ e un'applicazione $g$ con matrice diagonale $G=[[c,0],[0,d]]$, se io definisco $r=g(f)$ è equivalente a fare $R=F*G=[[ac,0],[0,bd]]$ e quindi gli autovalori di $r$ sono il prodotto di quelli di $f$ e $g$.
Al di là della proprietà enunciata nella dispensa (sulla quale, ripeto, mi fido del tuo giudizio, sicuramente più competente del mio) questo mio ragionamento è corretto?
Grazie ancora!

[Martino]

gli autovalori di $r$ sono il prodotto di quelli di $f$ e $g$.

Questo è falso in generale, per esempio

$((2,0),(0,0)) * ((0,0),(0,3)) = ((0,0),(0,0))$

Come vedi le matrici qui sopra hanno $2$ e $3$ come autovalori (rispettivamente) ma il loro prodotto è la matrice nulla e non ha $2*3=6$ come autovalore.

[mau21]

Va bene, grazie ancora