rivestimenti connessi di $\mathbb{P}^2(\mathbb{R}) \times \mathbb{P}^2(\mathbb{R})$

[andreadel1988]

1) Trova un rivestimento connesso di $\mathbb{P}^2(\mathbb{R}) \times \mathbb{P}^2(\mathbb{R})$ con almeno due fogli.

2) Quanti sono i rivestimenti connessi di $\mathbb{P}^2(\mathbb{R}) \times \mathbb{P}^2(\mathbb{R})$, a meno di isomorfismo?

3) Scegliamo $x_0$ in $\mathbb{P}^2(\mathbb{R}) \times \mathbb{P}^2(\mathbb{R})$. Quanti sono i rivestimenti con punto base $p:(\tilde X, \tilde x_0) \to (X,x_0)$, a meno di isomorfismo, che preservano il punto base?

Ho svolto parte dell'esercizio:

Possiamo considerare la proiezione al quoziente $\pi: S^2 \to \mathbb{P}^2(\mathbb{R})$, che è un rivestimento a due fogli, in modo che $\pi \times \pi: S^2 \times S^2 \to \mathbb{P}^2(\mathbb{R}) \times\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$ sia un rivestimento connesso a quattro fogli.
Per determinare il numero di rivestimenti connessi a meno di isomorfismo, possiamo contare le classi di coniugio dei sottogruppi di $\pi_1(\mathbb{P}^2(\mathbb{R}) \times\mathbb{P}^2(\mathbb{R}) )=\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$. Sappiamo che i sottogruppi sono ${(0,0)},{(0,0),(0,1)},{(0,0),(1,0)},{(0,0),(1,1)},\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$. Come posso trovare le classi di coniugio ora? E per il punto 3), quali di questi sottogruppi lasciano invariato il punto base? Mi sembra solo il rivestimento banale che manda $\mathbb{P}^2(\mathbb{R}) \times\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$ in $ \mathbb{P}^2(\mathbb{R}) \times\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$, sbaglio?

[megas_archon]

Beh, ma \(\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2\) è abeliano, come fa il coniugio a essere non banale?!

[andreadel1988]

ah giusto, quindi le classi di coniugio dei sottogruppi corrispondono con i sottogruppi stessi. E la terza parte? l fatto che i gruppi siano normali forse mi dice la stessa cosa del punto 2?

[megas_archon]

Infatti la differenza non esiste, per rivestimenti sopra spazi con \(\pi_1\) abeliano.

[andreadel1988]

Infatti la differenza non esiste, per rivestimenti sopra spazi con \(\pi_1\) abeliano.

fra rivestimenti che lasciano invariato il punto base e rivestimenti senza punto base?

[megas_archon]

Sì.