Scrittura in forma algebrica di sottospazi affini

[mau21]

Buonasera,
la domanda che vorrei porre è molto generale:
Dato un sottospazio affine $S$ di $dim(S)=n<oo$ di giacitura $U$ e sia $p inS$ un suo punto;
Esso scrive in forma parametrica come $S=p+sum_{i=1}^n t(i)*u(i)$ con $t1,...,tninRR$.
Ora, se voglio ottenere una rappresentazione algebrica di questo sottospazio (senza tenere conto del fatto che in alcuni casi esistono metodi più efficenti per farlo) è sempre possibile procedere definendo $X=[[x],[y],[z],[...],[x(n)]]$ e poi ponendo $S=X$ e facendo i calcoli (risolvendo il sistema lineare che ne deriva e ponendo a $0$ tutto ciò che ne precluderebbe la risoluzione), giusto?
Grazie mille!

[megas_archon]

Se \(\mathbb A\) è uno spazio affine su un campo $K$, con spazio vettoriale sottostante $V$, di dimensione $n$, un riferimento affine per \(\mathbb A\) consta, equivalentemente, di

a. Un insieme di \(n+1\) punti \(P_0,\dots,P_n\) in posizione generale, ovvero tali che i vettori \(P_1-P_0,\dots,P_n-P_0\) sono linearmente indipendenti;
b. Un punto \(P_0\in\mathbb A\) e una base \(\mathcal B = \{v_1,\dots,v_n\}\) di $V$.

Scelto un riferimento affine, ogni punto $P$ di \(\mathbb A\) ammette una rappresentazione in coordinate (associate a quel riferimento) in maniera che \[\textstyle P=P_0 + \sum_i \alpha_i v_i = \sum_i \alpha_i (P_i-P_0)\] e ciascun \(\alpha_i\in K\). La maniera di passare da (a) a (b) è evidente.

Ora, questa descrizione passa evidentemente ai sottospazi affini, cioè alle coppie \((P,W)\) (scritto di solito \(P+W:=\{P+w\mid w\in W\}\)) con \(P\in\mathbb A\), \(W\le V\) un sottospazio vettoriale: ogni tale sottovarietà si descrive mediante equazioni parametriche determinate dal fissare una base di $W$, e scrivendo un generico punto di \(X\in P+W\) come \(P+\sum_i\alpha_i w_i\) dove \(\mathcal W=\{w_1,\dots,w_m\}\) è una base di $W$ e ciascun \(\alpha_i\in K\).

A questo punto, le coordinate \((x_1,\dots,x_n)\) di $P$ nel riferimento fissato servono a passare dalla rappresentazione in termini sintetici al sistema di equazioni lineari che determina \(P+W\); la maniera di ragionare è la solita, si impone la caduta di rango di una matrice che contiene come colonne \((X-x\mid\mathcal W)\), dove \(X-x\) è il vettore ottenuto dalla colonna di indeterminate generiche, e \(x=(x_1,\dots,x_n)\) sono le coordinate di $P$ nel riferimento.

Quindi: ogni collezione di $m+1$ punti \(P_0, P_1,\dots , P_m\) di \(\mathbb A\) in posizione generale determina una varietà affine di dimensione $m$: la più piccola varietà affine contenente quei punti. Il suo punto generico si scrive come \(P_0 + \sum_i \alpha_i(P_i-P_0)\) e la varietà ha equazioni fissate dalla condizione \[\text{rk}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1\\ X & P_0 & P_1 & \cdots & P_n\end{pmatrix} \le m+1\] o equivalentemente \[\text{rk}\begin{pmatrix} X-P_0 & P_1-P_0 & \cdots & P_n-P_0\end{pmatrix} \le m.\]

[mau21]

Va bene, grazie mille!