da megas_archon » 07/02/2024, 09:05
Se \(\mathbb A\) è uno spazio affine su un campo $K$, con spazio vettoriale sottostante $V$, di dimensione $n$, un riferimento affine per \(\mathbb A\) consta, equivalentemente, di
a. Un insieme di \(n+1\) punti \(P_0,\dots,P_n\) in posizione generale, ovvero tali che i vettori \(P_1-P_0,\dots,P_n-P_0\) sono linearmente indipendenti;
b. Un punto \(P_0\in\mathbb A\) e una base \(\mathcal B = \{v_1,\dots,v_n\}\) di $V$.
Scelto un riferimento affine, ogni punto $P$ di \(\mathbb A\) ammette una rappresentazione in coordinate (associate a quel riferimento) in maniera che \[\textstyle P=P_0 + \sum_i \alpha_i v_i = \sum_i \alpha_i (P_i-P_0)\] e ciascun \(\alpha_i\in K\). La maniera di passare da (a) a (b) è evidente.
Ora, questa descrizione passa evidentemente ai sottospazi affini, cioè alle coppie \((P,W)\) (scritto di solito \(P+W:=\{P+w\mid w\in W\}\)) con \(P\in\mathbb A\), \(W\le V\) un sottospazio vettoriale: ogni tale sottovarietà si descrive mediante equazioni parametriche determinate dal fissare una base di $W$, e scrivendo un generico punto di \(X\in P+W\) come \(P+\sum_i\alpha_i w_i\) dove \(\mathcal W=\{w_1,\dots,w_m\}\) è una base di $W$ e ciascun \(\alpha_i\in K\).
A questo punto, le coordinate \((x_1,\dots,x_n)\) di $P$ nel riferimento fissato servono a passare dalla rappresentazione in termini sintetici al sistema di equazioni lineari che determina \(P+W\); la maniera di ragionare è la solita, si impone la caduta di rango di una matrice che contiene come colonne \((X-x\mid\mathcal W)\), dove \(X-x\) è il vettore ottenuto dalla colonna di indeterminate generiche, e \(x=(x_1,\dots,x_n)\) sono le coordinate di $P$ nel riferimento.
Quindi: ogni collezione di $m+1$ punti \(P_0, P_1,\dots , P_m\) di \(\mathbb A\) in posizione generale determina una varietà affine di dimensione $m$: la più piccola varietà affine contenente quei punti. Il suo punto generico si scrive come \(P_0 + \sum_i \alpha_i(P_i-P_0)\) e la varietà ha equazioni fissate dalla condizione \[\text{rk}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1\\ X & P_0 & P_1 & \cdots & P_n\end{pmatrix} \le m+1\] o equivalentemente \[\text{rk}\begin{pmatrix} X-P_0 & P_1-P_0 & \cdots & P_n-P_0\end{pmatrix} \le m.\]