Piano tangente ad una sfera

[ZfreS]

Buon giorno. Ho questo esercizio: data la sfera $x^2+y^2+z^2-3x+2y-z=3$ e la retta $r:\{(x=3t),(y=14),(z=-t):}$ trovare i piani tangenti alla sfera e passanti per la retta r. Per risolvere, intanto ho trovato raggio e centro della sfera: $R=1/2$ e $C=(3/2,-1,-1/2)$. Poi ho riscritto la retta in forma cartesiana come $\{(x-3z=0),(y+14=0):}$ e impongo il fascio di piani passanti per la retta: $h(x-3z)+k(y+14)=0$ con $(h,k)!=(0,0)$. Ora, impongo la distanza tra il piano e e il centro della sfera che dovendo essere tangenti sarà pari al raggio: $d(pi,C)=(|ax_c+by_c+cz_c+d|)/sqrt(a^2+b^2+c^2)$. Ora, per determinare $n=(a,b,c)$ riscrivo il generico piani del fascio come$hx-3hz+ky+14k=0$ e quindi $n=(h,k,-3h)$ e quindi sostituendo nell'equazione di prima ai coefficienti $(a,b,c)$ h e k e a $(x,y,z)$ le coordinate del centro della sfera ottengo
$3/2h-k+3/2h+14k=1/2sqrt(k^2+10h^2)$. Ora mi trovo in difficoltà: devo cercare di esprimere h in funzione di k o viceversa, oppure sto sbagliando procedimento?

[sellacollesella]

Se è:

la sfera $x^2+y^2+z^2-3x+2y-z=3$

allora non è:

raggio e centro della sfera: $R=1/2$ e $C=(3/2,-1,-1/2)$

Se è:

la retta $r:\{(x=3t),(y=14),(z=-t):}$

allora non è:

retta in forma cartesiana: $\{(x-3z=0),(y+14=0):}$

Corretti i calcoli, per quanto concerne:

impongo il fascio di piani passanti per la retta

impongo la distanza tra il piano e il centro della sfera che dovendo essere tangenti sarà pari al raggio

va bene, ma osserva che: \[
\frac{|ax_c+by_c+cz_c+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=R
\quad \Rightarrow \quad
(ax_c+by_c+cz_c+d)^2 = R^2(a^2+b^2+c^2).
\] In tal modo ti sbarazzi in un colpo solo di valore assoluto e di radice quadrata, che è una grande cosa!

[ZfreS]

Si, avevo sbagliato conti, la sfera dovrebbe essere $x^2+(y+1)^2+(z-1/2)^2=17/4$
e la retta è $\{(x+3z=0),(y-14=0):}$
$(3/2h-15k)^2=17/4(k^2+10h^2)$
Fin qui va bene?

[sellacollesella]

Sulla sfera alto mare proprio; si tratta di completare tre quadrati: \[
\begin{aligned}
& x^2 + y^2 + z^2 - 3x + 2y - z = 3 \\
& \left(x^2 - 3x\right) + \left(y^2 + 2y\right) + \left(z^2 - z\right) = 3 \\
& \left(x^2 - 3x + \frac{9}{4}\right) + \left(y^2 + 2y + 1\right) + \left(z^2 - z +\frac{1}{4}\right) = 3+\frac{9}{4}+1+\frac{1}{4} \\
& \left(x-\frac{3}{2}\right)^2 + \left(y+1\right)^2 + \left(z-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{13}{2}
\end{aligned}
\] da cui si evince \(C\left(\frac{3}{2},-1,\frac{1}{2}\right)\) ed \(R = \sqrt{\frac{13}{2}}\).

Sulla retta in forma cartesiana ci siamo, da cui il fascio di piani risulta essere: \[
h(x+3z) + k(y-14) = 0
\quad \Rightarrow \quad
hx+ky+3hz-14k=0, \quad (h,k)\ne(0,0).
\] Pertanto, senza bisogno di alcun calcolo, applicando la formula della distanza punto-piano: \[
\frac{\left|\frac{3}{2}h-k+\frac{3}{2}h-14k\right|}{\sqrt{h^2+k^2+(3h)^2}}=\sqrt{\frac{13}{2}}
\quad \Rightarrow \quad
(3h-15k)^2 = \frac{13}{2}\left(10h^2+k^2\right).
\] A te proseguire.

[ZfreS]

Ti ringrazio, facendo così ottengo due fasci che differiscono solo di segno, perciò ti riporto il primo in cui ho espresso h in funzione di k che poi ho semplificato perché supposto diverso da zero:
$(sqrt(12470)-90)x+10y+3(sqrt(12470)-90)z-140=0$

[sellacollesella]

ottengo due fasci

No.

$(sqrt(12470)-90)x+10y+3(sqrt(12470)-90)z-140=0$

No.

[ZfreS]

Ok, allora riporto i conti qui: $(3h-15k)^2=13/2(10h^2+k^2)$
$2(9h^2+225k^2-90hk)=130h^2+13k^2$
$18h^2+450k^2-180hk-130h^2-13k^2=0$
$-112h^2+437k^2-180hk=0$
$112h^2+180hk-437k^2=0$
Fin qui ti torna?

[sellacollesella]

Fin qui ti torna?

Sì.

[ZfreS]

Bene, da qui i calcoli si complicano essendo un'equazione di secondo grado, si può risolvere risepetto a h per esempio, e rifacendo i conti mi trovo due valori per h: $h_1=((sqrt(14261)-45)k)/56$ e $h_2=-((sqrt(14261)+45)k)/56$. Quindi da qui si vede che ci saranno due piani del fascio per ciascun h

[sellacollesella]

$h_1=((sqrt(14261)-45)k)/56$ e $h_2=-((sqrt(14261)+45)k)/56$.

Per quanto facciano schifo, queste sono le due soluzioni corrette.

Quindi da qui si vede che ci saranno due piani del fascio per ciascun h.

Un piano per ciascun valore di \(h\), quindi in totale due piani (e non due fasci come hai scritto sopra,
tra l'altro dopo avertelo sottolineato in altre millemila occasioni). Nella fattispecie, basta scrivere: \[
\frac{-45\pm\sqrt{14261}}{56}(x+3z) + (y-14) = 0
\] in quanto sviluppando i conti si andrebbe solo ad inzozzare l'equazione; anche no.