Rette in $E^3$

[Brufus]

Ma forse tu stai scherzando. Lo spazio dei vettori geometrici applicati , cioè le freccette che disegni sul piano euclideo congiungendo due punti. Secondo te il piano euclideo dove appunto lavorava Euclide ha qualcosa a che fare con $\mathbb R^2$.?
Adesso iniziamo a parlare di isomorfismi e che ogni spazio vettoriale n-dimensionale è isomorfo a $\mathbb R^n$ come se importasse a qualcuno. Il punto del discorso è che la ragazza non ha proprio capito cosa sia uno spazio affine, e che in teoria esistono due insiemi distinti uno dei quali sarà l'insieme dei punti e l'altro lo spazio vettoriale. E poi ovviamente puoi scegliere sia il primo che il secondo coincidenti con $\mathbb R^n$ , andando a caratterizzare lo spazio affine numerico. Certo a leggere il tuo intervento dubito che lo abbia capito perché tu in sostanza hai liquidato il discorso scrivendo che tutto si riduce a $\mathbb R^n$

[j18eos]

Scusa la domanda: ma sai la differenza tra vettore libero e vettore applicato?

[Brufus]

Non devi scusarti per la domanda. Nel caso dei vettori geometri applicati in un punto del piano euclideo, ottieni i vettori liberi quozientando per la relazione di equipollenza. Nel caso di uno spazio affine generico i vettori dello spazio vettoriale associato vengono appunti definiti vettori liberi.

Ora io voglio sottolineare che quando si parla di $\mathbb R^n$ esso viene inteso come un $\mathbb R$ spazio vettoriale, e non può essere confuso con lo spazio affine numerico dove invece ha senso parlare di rette sghembe e quant'altro. Anzi l'ambiente naturale dove esistono quegli enti è proprio lo spazio $\Omega$ della geometria euclidea.

Tutto qui

[gugo82]

[...] voglio sottolineare che quando si parla di $\mathbb R^n$ esso viene inteso come un $\mathbb R$ spazio vettoriale [...]

Ed ecco come una convenzione locale diventa magicamente universale...

Se studi Matematica, dovrai faticare non poco per liberarti di questi abiti mentali.¹
Buon lavoro su te stesso.

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Note

1. In realtà, questi abiti andrebbero dismessi sin dalla scuola dell'obbligo, non ci sarebbe bisogno di arrivare all'università per farlo. ↑

[j18eos]

@Brufus Mi verrebbe da domandarti come definisci questo spazio \(\displaystyle\Omega\)?!

O più in generale, come definisci gli spazi affini ed affini euclidei?!

P.S.: \(\displaystyle\mathbb{R}\) come \(\displaystyle\mathbb{Q}\)-spazio vettoriale è molto interessante.

[Brufus]

Mi verrebbe da domandarti come definisci questo spazio

Non saprei, dovresti chiederlo a Euclide mentre scriveva la sua opera. Dovresti anche chiedere ad Euclide cosa sia una retta visto che non l'ha mai definita. In ogni caso $\Omega$ è proprio l'ambiente in cui Euclide lavora con i suoi enti primitivi. E stai sicuro che non è $\mathbb R^2$

come definisci gli spazi affini

Lo spazio affine numerico su un campo $K$ si definisce $mathbb A_K$ quindi quello che tu impropriamente ( anzi scorrettamente) chiami $\mathbb R^n$ si dovrebbe scrivere $\mathbb A_{\mathbb R}$.

[j18eos]

Ah, tutto chiaro!

Io chiamo spazio affine su un campo \(\displaystyle\mathbb{K}\) una coppia \(\displaystyle(\mathbb{A},\alpha)\) ove \(\displaystyle\mathbb{A}\) è un insieme ed \(\displaystyle\alpha\) è l'azione iniettiva e transitiva del gruppo additivo di un \(\displaystyle\mathbb{K}\)-spazio vettorale \(\displaystyle\mathbb{V}\) su \(\displaystyle\mathbb{A}\). In particolare \(\displaystyle\mathbb{V}\) si chiama spazio vettoriale dei vettori liberi.

Per giunta, fissando un punto \(\displaystyle O\in\mathbb{A}\) posso dotare \(\displaystyle\mathbb{A}\) di un('unic)a struttura di \(\displaystyle\mathbb{K}\)-spazio vettoriale, la quale è isomorfa a \(\displaystyle\mathbb{V}\). La terna \(\displaystyle(\mathbb{A},O,\varphi)\), con \(\displaystyle\varphi\) isomorfismo lineare precedentemente considerato, si definisce spazio vettoriale dei vettori applicati in \(\displaystyle O\).

E sempre a meno di isomorfismi, \(\displaystyle\mathbb{V}\) è isomorfo al \(\displaystyle\mathbb{K}\)-spazio vettoriale libero su una qualsiasi base di \(\displaystyle\mathbb{V}\); il quale a sua volta è uno spazio affine. Per giunta si può dimostrare che questi è l'unico spazio affine, a meno di affinità, il cui spazio direttore sia \(\displaystyle\mathbb{V}\).

Quindi, supponendo che \(\displaystyle\mathbb{K}=\mathbb{R}\) e \(\displaystyle\dim\mathbb{V}=n\), a meno di biezioni si può assumere che \(\displaystyle\mathbb{A}\) sia \(\displaystyle\mathbb{R}^n\). E tale assunzione è molto più rigorosa e chiara di tal spazio (o insieme?) \(\displaystyle\Omega\) introdotto da tal Euclide che conosci te! L'Euclide che conosco io, autore di testi matematici antichi, non denotava gli oggetti che descriveva ingenuamente.

Moderatore: j18eos

Chiarito ciò: la discussione è definitivamente chiusa.