Esercizio rette nello spazio

[paolo1712]

Potreste guidarmi nella risoluzione di questo esercizio?
Sia fissato in $E_3(\RR)$ il riferimento cartesiano standard $R(O,B)$.
Si considerino le rette
$r:{(x-2y+1=0),(y-z=0):}$ e $s:{(x+1=0),(y=0):}$
Determinare le rette parallele a $r$, incidenti a $s$ e aventi distanza $sqrt(2)/2$ dall'origine.

Ho impostato il problema così:
Condizione affinché una generica retta $h$ dello spazio, sia parallela a $r$, è che abbia gli stessi parametri direttori. I parametri di $r$ sono $(l_r,m_r,n_r)=(2,1,1)$. Quindi ottengo il fascio improprio di rette $h:{(x-x_P=2t),(y-y_P=t),(z-z_P=t):}$

Condizione affinché $h$ e $s$ siano incidenti, è che il rango della matrice formata dai parametri direttori di $s$, che risultano essere $(l_s,m_s,n_s)=(0,0,1)$, e da quelli di $h$ (uguali a $r$), sia $2$.
Chiaramente tutte le rette del fascio improprio saranno incidenti a $s$

Per costruire la condizione sulla distanza dall'origine, mi sono mosso così. Ho trovato il piano passante per l'origine $\alpha:a(x-0)+b(y-0)+c(z-0)=0$ e ortogonale a $h$, che risulterà essere $\alpha: 2x+y+z=0$ dato che $\alpha _|_ h \hArr (l_h,m_h,n_h)=(a,b,c)$.
Ora dovrei calcolarmi $\alpha \cap h$ per trovarmi le proiezioni ortogonali di $O(0,0)$ sul fascio di rette $h$ e quindi imporre che la distanza $d(O_h,O)$ sia uguale a $sqrt(2)/2$.
Ho trasformato l'equazione del piano in forma parametrica ottenendo:
$\alpha: {(x=s),(y=t),(z=-2s-t):}$
e ho messo a sistema le equazioni
$alpha \cap h: {(x-x_P=2t),(y-y_P=t),(z-z_P=t),(x=s),(y=t),(z=-2s-t):}={(x_P=x-2t),(y_P=y-t),(z_P=z-t),(t=-2s-z):}={(x_p=s-2(-2s-z)),(y_P=0),(z_P=z-(-2s-z)):}={(x_P=5s+2z),(y_P=0),(z_P=2s+2z):}$
trovando che l'insieme delle soluzioni è ${(5s+2z,0,2s+2z)|s,z \in \RR}=<(5,0,2),(2,0,2)>$.

Perché non trovo una retta di soluzioni ma un piano? Ho sbagliato qualcosa? C'è un'altra via risolutiva?

Vi ringrazio in anticipo per il vostro tempo.

[sellacollesella]

Non ho sufficienti skills per correggerti, ma note le rette \(p,q\) di equazione parametrica: \[
P = P_0 + \mathbf{v}_pt,
\quad \quad \quad
Q = Q_0 + \mathbf{v}_qu
\] allora:

• le rette \(r\) parallele a \(p\) e incidenti \(q\) sono parametrizzabili come: \[
  R = Q + \mathbf{v}_pv;
  \]
• le rette \(s\) passanti per \(O\) e incidenti \(r\) sono parametrizzabili come: \[
  S = O + (R-O)w.
  \]

Affinché \(r,s\) siano perpendicolari ed \(r\) distino \(d \ge 0\) da \(O\) è sufficiente imporre: \[
\begin{cases}
\mathbf{v}_p\cdot(R-O)=0\\
||R-O||=d\\
\end{cases}
\] sistema di due equazioni nelle incognite \(u\), \(v\) che risolto porge quanto richiesto.

[Quinzio]

C'è un'altra via risolutiva?

Prendiamo il vettore che collega l'origine a un punto di $s$:
$\vec s = (-1, 0, z)$
Prendiamo il vettore unitario parallelo a $r$:
$\vec r ={(2, 1,1 )}/ \sqrt6$
Calcoliamo la lunghezza della proiezione di $\vec s$ su $\vec r$:
$(-2+z)/ \sqrt 6$

Il vettore $\vec s$ e la proiezione su $\vec r$ formano un triangolo rettangolo (ipotenusa e cateto). L'altro cateto e' la distanza dall'origine della retta parallela a $\vec r$ che passa per il punto su $s$.

Uguagliamo questa distanza a $\sqrt (1/2)$

$\sqrt(z^2+1 - (z^2-4z+4)/6) =sqrt (1/2)$

Le soluzioni sono $z = -1, 1/5$.

Le due rette cercate sono
$(-1+2t, t, -1+t)$
$(-1+2t, t, 1/5+t)$

In questo disegno 3D c'e' la retta $s$, le due rette cercate e i triangoli rettangoli di cui sopra.
$0.71$ e' la distanza $\sqrt (1/2)$ approssimata.

https://www.geogebra.org/calculator/jyd4bffz

[paolo1712]

Vi ringrazio per le risposte.
Non capisco perché il metodo adottato da me non funzioni. Sto intersecando un fascio improprio di rette con un piano per trovarmi una retta. Considerando solo i punti di tale retta distanti $sqrt(2)/2$ dall'origine, dovrei essere in grado di trovarmi le rette richieste dall'esercizio. Invece trovo un piano come soluzione.
Quindi o ho sbagliato nella risoluzione del sistema o ho costruito male l'equazione parametrica del piano $\alpha$.

[Quinzio]

Vi ringrazio per le risposte.
Non capisco perché il metodo adottato da me non funzioni. Sto intersecando un fascio improprio di rette con un piano per trovarmi una retta. Considerando solo i punti di tale retta distanti $sqrt(2)/2$ dall'origine, dovrei essere in grado di trovarmi le rette richieste dall'esercizio. Invece trovo un piano come soluzione.
Quindi o ho sbagliato nella risoluzione del sistema o ho costruito male l'equazione parametrica del piano $\alpha$.

E' chiaro che trovi un piano come equazione.
Prendi una retta del fascio improprio che passa per il punto $P$ di coordinate $(x_P, y_P, z_P)$.
Questa retta va a bucare il piano $\alpha$ in un altro punto $Q$ (non ci interessa esattamente dove).
Pero' e' chiaro che variando il punto $P$, l'altro punto $Q$ puo' essere dovunque nel piano $\alpha$.
Guarda questo esempio: prendi un "puntatore laser" e lo punti contro la parete. Ora muovendo la mano e tenendo piu' o meno il puntatore sempre nella stessa direzione, e' chiaro che il punto sulla parete puo' essere dovunque, basta spostare la mano nel punto giusto.

Quindi e' chiaro, e' giusto che alla fine trovi come soluzione un piano, perche' puoi fare in modo che $Q$ sia dovunque sul piano.

Comunque in questo sistema non puoi usare $t$ per le prime 3 equazioni e anche per le seconde 3.
Devi usare una lettera diversa, non e' la stessa variabile. C'e' anche questo errore da correggere.

$ alpha \cap h: {(x-x_P=2t),(y-y_P=t),(z-z_P=t),(x=s),(y=t),(z=-2s-t):}={(x_P=x-2t),(y_P=y-t),(z_P=z-t),(t=-2s-z):}={(x_p=s-2(-2s-z)),(y_P=0),(z_P=z-(-2s-z)):}={(x_P=5s+2z),(y_P=0),(z_P=2s+2z):} $

[paolo1712]

Ho capito. Però ero convinto di aver imposto il passaggio da $s$ di tutte le rette parallele a $r$. Non ho una serie infinita di rette che mi riempiono tutto lo spazio, ma solo quelle che intersecano $s$. E se non l'ho fatto, come potrei fare?

Si hai ragione ho fatto una cavolata con quel sistema.

[Quinzio]

Ho capito. Però ero convinto di aver imposto il passaggio da $s$ di tutte le rette parallele a $r$. Non ho una serie infinita di rette che mi riempiono tutto lo spazio, ma solo quelle che intersecano $s$. E se non l'ho fatto, come potrei fare?

Lo fai imponendo
$x_P = -1$,
$y_P = 0$,
$z_P = z$,

con un parametro libero $z$.