Problema con conica parametrica

[ZfreS]

Buon giorno. Ho questo esercizio: nel piano euclideo con riferimento cartesiano $Oxy$ si consideri la famiglia di coniche $C(k) : 3y+2kxy-2kx-4y+4=0$ con $kinRR$. Attraverso il calcolo degli invarianti ortogonali, classificare la famiglia C(k) e determinare inoltre per quali valori di k la conica C(k) ha centro nel punto $C'= (-1, 1)$. Dopo aver determinato il valore di k per cui la conica C(k) è l'iperbole che ha un asintoto parallelo alla retta $8x - 6y + 1 = 0$, calcolare la distanza tra i suoi vertici.

Per iniziare ho trovato gli invariati in funzione di k: $I_1=7$, $I_2=-k^2$ e $I_3=-3k^2$.
$I_3=0$ se $k=0$ in tal caso $I_2=0$ e la conica si spezza in due rette parallele. $I_3!=0$ solo se $k!=0$ ma allora anche $I_2!=0$ e vale $I_2<0 forallkinRR-{0}$.

[sellacollesella]

Si consideri la famiglia di coniche $3y+2kxy-2kx-4y+4=0$ con $kinRR$.

Suppongo che tu volessi scrivere \(3y^{\color{red}{2}}+2kxy-2kx-4y+4=0\).

In tal caso, si ha: \[
A =
\begin{bmatrix}
0 & k & -k \\
k & 3 & -2 \\
-k & -2 & 4 \\
\end{bmatrix},
\quad \quad \quad
B =
\begin{bmatrix}
0 & k \\
k & 3 \\
\end{bmatrix}
\] da cui, banalmente:

• se \(k=0\) la conica degenera in \(3y^2-4y+4=0\), ossia in due rette parallele;
  
  
• se \(k\ne0\) la conica non è degenere, in particolare si tratta di una iperbole.

Assodato ciò, occorre procedere con gli altri quesiti. Coraggio, un po' di forza d'animo!

[ZfreS]

Mi sono reso conto adesso che il post non era completo. Volevo capire come imporre che l'asintoto debba essere parallelo a quello dato

[sellacollesella]

Esattamente dieci giorni fa scrivevo:

[...] anche per l'iperbole abbiamo una forma canonica: \[
\frac{u^2}{a^2}-\frac{v^2}{b^2}=1
\] ancora una volta ottenibile per rototraslazione: \[
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta \\
\sin\theta & \cos\theta \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
u \\
v \\
\end{bmatrix}+
\begin{bmatrix}
x_C \\
y_C \\
\end{bmatrix}
\] e per la quale è facile ricordare le seguenti caratteristiche:

• centro \((u_C,v_C)=(0,0)\);
  
  
• vertici \((u_V,v_V)=(\pm a,0)\);
  
  
• fuochi \((u_F,v_F)=(\pm \sqrt{a^2+b^2},0)\);
  
  
• assi di simmetria \(u=0\), \(v=0\);
  
  
• asintoti \(v=\pm(b/a)u\).

Ad oggi le mie conoscenze sono immutate.

[ZfreS]

Non mi è chiaro, devo trovare in funzione di k la forma canonica da cui ricavare poi l'equazione dell'asintoto per poi imporre il suo vettore direttore proporzionale a quello della retta $8x-6y+1=0$, corretto?

[sellacollesella]

Sì, una roba del genere.

[ZfreS]

Dunque, facendo i conti trovo i tre invarianti, $I_1=3$, $I_2=-k^2$ e $I_3=-3k^2$. Impongo il sistema

$\{(alphabetagamma=-3k^2),(alphabeta=-k^2),(alpha+beta=3):}$
e trovo due equazioni per i due valori di $alpha$ e $beta$

$\{(alpha_1=(3+sqrt(9+4k^2)/2)),(beta_1=(3-sqrt(9+4k^2)/2)),(gamma=3):}$

$\{(alpha_2=(3-sqrt(9+4k^2)/2)),(beta_2=(3+sqrt(9+4k^2)/2)),(gamma=3):}$

Le due equazioni vengono:

$(3+sqrt(9+4k^2))/6X^2-(sqrt(9+4k^2)-3)/6Y^2=-1$

Fin qui è tutto corretto?

[sellacollesella]

Fissato \(k\in\mathbb{R}\) e assegnata l'equazione cartesiana: \[
f(x,y):=3y^2+2kxy-2kx-4y+4=0
\] se \(k\ne 0\) si tratta di una iperbole, quindi cominciamo calcolandone il centro: \[
\nabla f(x,y)=(0,0)\quad\Leftrightarrow\quad(x,y)=\left(-\frac{1}{k},\,1\right).
\] Successivamente, procediamo con il calcolo delle direzioni degli assi di simmetria:

• autovalori di \(B\): \(\lambda_1=\frac{3-\sqrt{9+4k^2}}{2}\), \(\lambda_2=\frac{3+\sqrt{9+4k^2}}{2}\);
  
  
• autoversori di \(B\): \(\mathbf{\hat{v}}_1=\frac{(\lambda_2,-k)}{\sqrt{\lambda_2^2+k^2}}\), \(\mathbf{\hat{v}}_2=\frac{(\lambda_1,-k)}{\sqrt{\lambda_1^2+k^2}}\).

Pertanto, servendoci della rototraslazione: \[
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\frac{\lambda_2}{\sqrt{\lambda_2^2+k^2}} & \frac{\lambda_1}{\sqrt{\lambda_1^2+k^2}} \\
\frac{-k}{\sqrt{\lambda_2^2+k^2}} & \frac{-k}{\sqrt{\lambda_1^2+k^2}} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
u \\
v \\
\end{bmatrix}+
\begin{bmatrix}
-\frac{1}{k} \\
1\\
\end{bmatrix}
\] ci si riduce all'equazione cartesiana: \[
\lambda_1u^2+\lambda_2v^2+\frac{\det(A)}{\lambda_1\lambda_2}=0
\] tramite la quale è elementare ottenere la forma canonica: \[
\frac{u^2}{a^2}-\frac{v^2}{b^2}=1,\quad\quad\text{con}\;\;
a:=\sqrt{\frac{6}{\sqrt{9+4k^2}-3}},\quad b:=\sqrt{\frac{6}{\sqrt{9+4k^2}+3}}.
\] Bada bene che se avessi costruito la matrice di rotazione scambiando i due vettori colonna avremmo ottenuto la forma canonica da te calcolata sopra, sarebbe andata ugualmente bene, solo che per proseguire l'esercizio è essenziale conoscere la rototraslazione tramite la quale si ottiene la forma canonica, altrimenti ci si blocca!

A questo punto, infatti, è sufficiente sostituire nell'equazione dell'asintoto le rispettive espressioni dipendenti da \(u\) e \(v\), esplicitare \(v\), quindi uguagliare il coefficiente di \(u\) a \(\pm b/a\). A te concludere l'esercizio, forza!