Fissato \(k\in\mathbb{R}\) e assegnata l'equazione cartesiana: \[
f(x,y):=3y^2+2kxy-2kx-4y+4=0
\] se \(k\ne 0\) si tratta di una
iperbole, quindi cominciamo calcolandone il
centro: \[
\nabla f(x,y)=(0,0)\quad\Leftrightarrow\quad(x,y)=\left(-\frac{1}{k},\,1\right).
\] Successivamente, procediamo con il calcolo delle direzioni degli
assi di simmetria:
- autovalori di \(B\): \(\lambda_1=\frac{3-\sqrt{9+4k^2}}{2}\), \(\lambda_2=\frac{3+\sqrt{9+4k^2}}{2}\);
- autoversori di \(B\): \(\mathbf{\hat{v}}_1=\frac{(\lambda_2,-k)}{\sqrt{\lambda_2^2+k^2}}\), \(\mathbf{\hat{v}}_2=\frac{(\lambda_1,-k)}{\sqrt{\lambda_1^2+k^2}}\).
Pertanto, servendoci della
rototraslazione: \[
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\frac{\lambda_2}{\sqrt{\lambda_2^2+k^2}} & \frac{\lambda_1}{\sqrt{\lambda_1^2+k^2}} \\
\frac{-k}{\sqrt{\lambda_2^2+k^2}} & \frac{-k}{\sqrt{\lambda_1^2+k^2}} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
u \\
v \\
\end{bmatrix}+
\begin{bmatrix}
-\frac{1}{k} \\
1\\
\end{bmatrix}
\] ci si riduce all'equazione cartesiana: \[
\lambda_1u^2+\lambda_2v^2+\frac{\det(A)}{\lambda_1\lambda_2}=0
\] tramite la quale è elementare ottenere la
forma canonica: \[
\frac{u^2}{a^2}-\frac{v^2}{b^2}=1,\quad\quad\text{con}\;\;
a:=\sqrt{\frac{6}{\sqrt{9+4k^2}-3}},\quad b:=\sqrt{\frac{6}{\sqrt{9+4k^2}+3}}.
\] Bada bene che se avessi costruito la
matrice di rotazione scambiando i due vettori colonna avremmo ottenuto la forma canonica da te calcolata sopra, sarebbe andata ugualmente bene, solo che per proseguire l'esercizio è essenziale conoscere la rototraslazione tramite la quale si ottiene la forma canonica, altrimenti ci si blocca!
A questo punto, infatti, è sufficiente sostituire nell'equazione dell'asintoto le rispettive espressioni dipendenti da \(u\) e \(v\), esplicitare \(v\), quindi uguagliare il coefficiente di \(u\) a \(\pm b/a\). A te concludere l'esercizio, forza!