Quando due oggetti sono isomorfi in maniera non canonica, hai dovuto compiere una o più scelte per definire l'isomorfismo che li collega, scelte che dipendono da uno o più parametri.
Il motivo per cui è preferibile, invece, trovare un isomorfismo canonico, ossia indipendente da queste scelte, è che se un isomorfismo è canonico, è un oggetto molto più beneducato di una semplice famiglia di isomorfismi, e le sue proprietà sono esattamente quelle che servono per formare la nozione di isomorfismo tra funtori -una nozione più debole, darebbe una versione sbagliata e troppo debole di identificazione; una più restrittiva, non catturerebbe esempi importanti (e ce ne sono a migliaia nella pratica matematica elementare e non).
Associare a uno spazio vettoriale il suo duale \(V^\lor\) è una operazione definita sulla classe di tutti gli spazi vettoriali, che manda $V$ in \(V^\lor\) e che è "funtoriale": significa che ogni funzione lineare \(f : V \to W\) induce una funzione lineare \(f^\lor : W^\lor\to V^\lor\) in maniera tale che \((1_V)^\lor =1_{V^\lor}\) e che \((g\circ f)^\lor = f^\lor \circ g^\lor\). Ora, è possibile trovare una famiglia di biiezioni lineari \(\alpha_V : V\to V^\lor\)
una volta che sia stata fissata una base \(\mathcal B_V\) di $V$. Quindi la famiglia \(\alpha_V\) dipende dal parametro $V$, e segretamente, dal parametro \(\mathcal B_V\).
Analogamente, mandare uno spazio vettoriale nel suo doppio duale \(V^{\lor\lor}\) è anch'essa una operazione \(V\mapsto V^{\lor\lor}\) definita sulla classe di tutti gli spazi vettoriali, che è funtoriale: ad ogni funzione lineare \(f : V \to W\) resta associata una funzione lineare \(f^{\lor\lor} : V^{\lor\lor} \to W^{\lor\lor}\) in maniera tale che \((1_V)^{\lor\lor} = 1_{V^{\lor\lor}}\) e \((g\circ f)^{\lor\lor} = g^{\lor\lor}\circ f^{\lor\lor} \). Anche qui, è possibile trovare una famiglia di biiezioni lineari \(\omega_V : V\to V^{\lor\lor}\)
ma ora, senza fare nessuna scelta aggiuntiva.
La differenza tra la famiglia \(\alpha_{V,(\mathcal B_V)}\) e la famiglia \(\omega_V\) è la dipendenza dal parametro $V$, che nel secondo caso è "polimorfa", ossia le \(\omega_V\) sono definite in una certa maniera, per ogni $V$, che varia sempre allo stesso modo scrivendo la definizione della biiezione nella componente da $V$ a $W$: per ogni $V$, \(\omega_V\) manda un vettore $v\in V$ nella funzione lineare \(V^\lor \to K\) che "valuta" una forma lineare \(\xi\in V^\lor\) sul vettore $v$, cioè in simboli \(\omega_V(v)(\xi)=\xi(v)\in K\). Questa definizione è polimorfa in $V$, cioè se tu mi dai un altro spazio vettoriale $W$, io definirò \(\omega_W\) mandando un vettore $w$
di $W$ nella valutazione di una forma lineare \(\zeta\)
definita su $W$, sul vettore $w$, e altrettanto farò per lo spazio vettoriale $Z$, per lo spazio vettoriale $U$,...
Il polimorfismo di \(\omega\) si esprime mediante la seguente proprietà di "naturalità":
Per ogni funzione lineare \(f : V\to W\), succede che la composizione \(\omega_W\circ f\) e la composizione \(f^{\lor\lor}\circ \omega_V\) sono uguali, ossia il diagramma quadrato \[\begin{CD} V @>\omega_V>> V^{\lor\lor} \\ @VfVV @VVf^{\lor\lor}V \\ W @>>\omega_W> W^{\lor\lor}\end{CD}\] commuta.
(Significa appunto che \(\omega\) "commuta" con ogni $f$, nel senso originale di "passa dall'altra parte quando lo moltiplichi".) Potrai ora divertirti a dimostrare che questo è vero (si tratta semplicemente di espandere la definizione delle due composizioni in questione).
Per quanto riguarda il peggior comportamento della famiglia \(\alpha=\{\alpha_{V,(\mathcal B_V)}\}\): come ti ho detto, \(\alpha_{V,(\mathcal B_V)}\) dipende dalla base di $V$ che hai scelto, quindi ci saranno delle componenti \(\alpha_{V,(\mathcal B_V)},\alpha_{W,(\mathcal B_W)}, \alpha_{Z,(\mathcal B_Z)}\dots\). Supponiamo di voler provare a controllare che un quadrato analogo a quello sopra,\[\begin{CD} V @>\alpha_V>> V^{\lor} \\ @VfVV @AAf^{\lor}A \\ W @>>\alpha_W> W^{\lor}\end{CD}\] è commutativo, una volta che sia stata data \(f : V\to W\). Ti accorgerai immediatamente che questa commutatività è impossibile da imporre in generale (con un po' di lavorìo, è possibile dimostrare una cosa molto forte: che se questo quadrato "sghembo" (perché la direzione di $f$ è opposta alla direzione di \(f^\lor\)) commuta, allora le componenti di \(\alpha_V\) sono obbligate a essere la mappa costante in zero. Ma avevamo supposto che fossero biiettive -e in effetti le abbiamo costruite in quel modo- la qual cosa è assurda).