Problema con iperbole

[ZfreS]

Buona sera. Ho questo problema sull'iperbole: nel piano euclideo con riferimento cartesiano si consideri l'iperbole C passante per il punto $A=(4,1)$ ed avente fuochi $F_1=(3,4)$ e $F_2=(-2, -1)$. Determinare una forma canonica di C e una isometria che riduce C in tale forma canonica. Determinare, nel riferimento cartesiano R, l'equazione cartesiana dell'iperbole e dei suoi asintoti.

Se non ho sbagliato procedimento, mi sono ricavato la matrice di rotazione $P=((sqrt(2)/2, -sqrt(2)/2),(sqrt(2)/2, sqrt(2)/2))$.

Il problema però e determinare il vettore di traslazione, non credo di avere a disposizione molte informazioni. Se avessi avuto un'asintoto e un asse di simmetria allora sarebbe stato immediato. Sapreste aiutarmi a sbloccarmi per favore?

[sellacollesella]

Se provi a fare uno schizzo di una iperbole qualsiasi sarà immediato capire come calcolare il centro.

[ZfreS]

Ah, forse ci sono anche se l'ho immaginata in mente, dato che conosco le coordinate dei fuochi nel sistema non canonico, il centro è il punto medio tra i due fuochi

[sellacollesella]

Esatto.

[ZfreS]

Bene, ora vorrei arrivare a questa forma: $u^2/a^2-v^2/b^2=1$ e ho questo: $((u),(v))=((sqrt(2)/2, sqrt(2)/2),(-sqrt(2)/2, sqrt(2)/2))((x-1/2),(y-3/2))$. Per trovare ora $a$ e $b$ posso sfruttare da una parte il punto di passaggio, ma non mi basta. Mi può essere utile usare la formula $c^2=a^2+b^2$ dove $c$ è uno dei due fuochi?

[sellacollesella]

Ottimo! Ora ricorda che in geometria euclidea si definisce iperbole il luogo dei punti \(P\) del piano tali che \(\left|\overline{PF_1}-\overline{PF_2}\right|=\text{costante}\). In particolare, nella forma canonica che hai riportato i vertici hanno coordinate \((u_V,v_V)=(\pm a,0)\) e i fuochi hanno coordinate \((u_F,v_F)=(\pm \sqrt{a^2+b^2},0)\). In tal modo hai tutte le informazioni per calcolare la lunghezza dei semiassi \(a>0\) e \(b>0\).