flusso e campo

[gasatomosso]

Ciao,

volevo chiedere un aiuto per comprendere alcuni concetti che non credo di aver compreso nel loro legame, in particolare il concetto di curva integrale, flusso del campo e generatore infinitesimo.

Dalle definizioni dovrebbe essere che:
- il flusso è un gruppo a un parametro di diffeomorfismi quindi di una mappa $phi$
- le curve integrali sono quelle tali per cui $d/(dt)phi_t(P)=X(phi_t(P))$, $hi_0(P)=P$

d'altra parte poi leggo che l'insieme delle curve integrali è il flusso. E non riesco a far coincidere i due concetti. Inoltre a peggiorare le cose volendo dare una visione intuitiva si dice che il flusso non è altro che anziché il considerare l’evoluzione di un singolo punto iniziale al variare di t (mettiamo t parametro), si considera per t fissato l’immagine di ciascun possibile punto di M (ma che vuol dire? )

- c'è poi il concetto di generatore infinitesimo che anche qui non capisco come si correli agli altri due, sapendo che dalla definizione esplicita in coordinate di un flusso t , si può risalire al campo vettoriale corrispondente (detto generatore infinitesimo del flusso).

Qualcuno potrebbe aiutarmi a legare formalmente queste cose? RIngrazio molto.

[apatriarca]

Come hai già specificato, il flusso è un azione del gruppo additivo dei numeri reali sulla varietà differenziale M. In altre parole è un diffeomorfismo \(\phi \colon M \times \mathbb R \to M\) con le proprietà:
1. \(\phi(x, 0) = x\).
2. \(\phi(\phi(x, s), t) = \phi(x, s + t)\).

Di solito scriviamo \(\phi_t(x) = \phi(x, t)\). L'immagine di ogni \(\phi_t \colon M \to M\) rappresenta in un certo senso lo stato del nostro sistema al tempo \(t\).

Possiamo anche considerare le curve \(\phi_x \colon \mathbb R \to M\) definite nel seguente modo: \(\phi_x(t) = \phi(x, t)\). Si vede facilmente che queste sono le curve integrali. Rappresentano l'evoluzione di un punto nel tempo. L'unione di tutte queste curve è il flusso nel senso che ricostruisci l'intera funzione \(\phi\).

Infine siccome \(\frac{\partial \phi}{\partial t}(x, t) = \frac{\partial \phi}{\partial t}(\phi(x, t), 0),\) osserviamo che il generatore infinitesimo \(\xi(x) = \frac{\partial \phi}{\partial t}(x, 0)\) genera il nostro flusso.

[gasatomosso]

Ti ringrazio per la risposta. quello che mi confondeva era che il flusso in teoria come dici tu va da M->M come mappa. Invece le curve erano da R->M quindi non capivo bene perché a seconda del perché se si prendessero tutte le curve (e quindi avendo un fluso) si passasse da dominio M a R.

Detto ciò, non ho pero ben capito la spiegazione sul generatore, posso chiederti quache dettaglio in più o una spiegazione più "per stupidi". temo di non esserci ancora

[apatriarca]

Dato un campo vettoriale su \(M\) (di sufficiente regolarità) possiamo costruirci per ogni punto delle curve integrali e quindi un flusso. In pratica hai un sistema di equazioni differenziali la cui soluzione è il tuo flusso. In linea di massima questa soluzione potrebbe non valere per tutto \(\mathbb R\). Il generatore infinitesimo è un campo vettoriale su \(M\) e si dimostra che integrandolo si ottiene il flusso. Per farlo basta vedere che derivando la curva integrale nel tempo \(t\) si ottiene la derivata al tempo \(0\) della curva integrale che parte in quel punto. In altre parole la derivata non dipende dal tempo.