Dimostrazione isometrie e basi ortonormali

[paolo1712]

Devo dimostrare il seguente teorema:
Sia $F:V->W$ un'applicazione lineare. Sia $B={v_1...v_n}$ una base ortonormale di $V$. Sono equivalenti:
a)$F$ è un'isometria
b)$B'={F(v_1)...F(v_n)}$ è base ortonormale di $W$.

Ho difficoltà con l'implicazione b)=>a). Pensavo:
Per ipotesi sappiamo che $g'(F(v_i),F(v_j))=\delta_i ^j$. Supponendo per assurdo che $F$ non sia un'isometria allora $\exists i,j: g(v_i,v_j)!=g'(F(v_i),F(v_j))=\delta_i ^j$ ma allora $B$ non è una base ortonormale di $V$. Funziona?

Condizione affinché F sia una isometria è che si conservi il prodotto scalare, come potrei arrivarci alternativamente?

Vi ringrazio!

[apatriarca]

Per mia comodità cambio leggermente la tua notazione. Chiamo \(\boldsymbol{e_i}\) la base \(i\)-esima di \(V\) e \(\boldsymbol{f_i} = F(\boldsymbol{e_i})\) la corrispondente base di \(W\). Per la linearità di \(F\) abbiamo che
\[ F(\boldsymbol{u}) = F\big(\sum_{i=1}^n u^i\,\boldsymbol{e_i} \big) = \sum_{i=1}^n u^i\,F(\boldsymbol{e_i}) = \sum_{i=1}^n u^i\,\boldsymbol{f_i}. \]
Dati due vettori \(\boldsymbol{u} = u^i\,\boldsymbol{e_i}\) e \(\boldsymbol{v} = v^i\,\boldsymbol{e_i},\) possiamo calcolare il loro prodotto scalare come (\(g\) è il prodotto scalare su \(V\) e \(h\) è il prodotto scalare su \(W\)):
\[ g(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n u^i\,v^j\,g(\boldsymbol{e_i}, \boldsymbol{e_j}) = \sum_{i=1}^n u^i\,v^i = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n u^i\,v^j\,h(\boldsymbol{f_i}, \boldsymbol{f_j}) = h(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}). \]
Il primo passaggio e l'ultimo fanno uso della linearità del prodotto scalare e quello di mezzo dal fatto che entrambe le basi sono ortonormali.

[paolo1712]

Tutto chiaro! Ti ringrazio ancora