da sellacollesella » 17/03/2024, 11:18
Data una superficie regolare \(\mathbf{r}:D\to\mathbb{R}^3\) di legge: \[
\mathbf{r}(u,v):=\left(\sqrt{r^2-v^2}\cos(u),\sqrt{r^2-v^2}\sin(u),v\right),
\quad (u,v)\in D:=[0,2\pi)\times[z_0,z_0+s]
\] si definisce area di \(\mathbf{r}\) il numero positivo: \[
A(\mathbf{r}):=\iint\limits_D ||\mathbf{r}_u(u,v) \land \mathbf{r}_v(u,v)||\,\text{d}u\,\text{d}v = r\int_0^{2\pi} \text{d}u \int_{z_0}^{z_0+s} \text{d}v = 2\pi rs.
\] D'altro canto, si può arrivare a tale risultato anche tramite una proporzione: \[
4\pi r^2:2r=A:s\quad\Leftrightarrow\quad A=\frac{4\pi r^2\cdot s}{2r} = 2\pi rs
\] seppur non sappia se sia lecito e men che meno se sia quanto fatto da Archimede.