Differenziabile su restrizione

[akapulko]

Buonasera,
sto seguendo un corso di geometria base e non ho capito il discorso fatto dal prof, in particolare ha inizialmente detto che parlare di differenziabilità per una funzione con dominio su una intersezione (quindi sottoinsieme) della superficie immersa in R^3 non ha senso in quanto un qualcosa di "simil-bidimensionale" e sicuramente non è un aperto di R^3. Non ha quindi senso (non avendo un aperto) parlare di differenziabilità. E ha introdotto discorsivamente questo concetto (il succo era quello qui sopra da me esposto).

Detto ciò ha mostrato che una estensione di una parametrizzazione che quindi è qualcosa di $R^3 -> R^3$ è differenziabile (potendo sfruttare i concetti di analisi in R^n).

La prima domanda è questa: il prof. voleva usare queso stratagemma per mostrare che due parametrizzazioni di una superficie in un'area di intersezione delle immagini delle due parametrizzazioni potesse avere un collegamento nei domini delle parametrizzazioni che fosse differenzialbile. ma io così facendo per estensione riesco a definire una differenziabilità su una funzione differente da quella che sono partito. ma una volta che restringo e torno al caso del dominio iniziale non dovrei perdere di nuovo il concetto di differenziabilità? (ritornando a una cosa bidimensionale)?


Inoltre non capisco un discorso che fa a posteriori (simile):

Definizione:
Sia S una superficie parametrizzabile. Una funzione f : S →R si dice differenziabile se:
- Approccio estrinseco: esiste una sua estensione locale F (ottenuta per
estensione) che è differenziabile nel senso usuale.
- Approccio intrinseco: data una parametrizzazione ϕ, la funzione composta
f ◦ ϕ : U → R e' differenziabile nel senso usuale.

Dimostriamo ora che le due definizioni sono equivalenti. Supponiamo che
F sia differenziabile. Allora F ◦ Φ = ¯f (u, v, t) è differenziabile, e quindi lo è
la sua restrizione f ◦ ϕ al dominio U . Viceversa, supponiamo che f ◦ ϕ sia
differenziabile su U . Allora anche la sua estensione ¯f (u, v, t) è differenziabile, e
quindi lo è F = ¯f ◦ Φ^(−1)

domanda 2 (applicazione di domanda1): Il mio dubbio è scemo e riguarda la parte in grassetto: mi chiedo, ma se io restringo il dominio, di nuovo, non cado nel problema di avere qualcosa di 2-d?

grazie