Unicità delle componenti di un vettore rispetto ad una base e sue conseguenze

[compa90]

Buongiorno, ho il seguente dubbio, considero
$x^t=(x_1,...,x_n)$ il vettore delle componenti di un vettore $v$ in un riferimento $B=(v_1,...,v_n)$
$y^t=(y_1,...,y_m)$ il vettore delle componenti di un vettore $u$ in un riferimento $B'=(w_1,...,w_m)$
$A=(a_(i,j))$ matrice compatibile con prodotto righe per colonne.

Perché se

\(\displaystyle y^t\begin{bmatrix} w_1 \\\vdots \\ w_m\end{bmatrix} =x^tA^t\begin{bmatrix} w_1 \\\vdots \\ w_m\end{bmatrix}\),

allora dall'unicità delle componenti di un vettore rispetto ad una base, allora \(\displaystyle y^t=x^tA^t \)

Grazie

[megas_archon]

..."compatibile con prodotto righe per colonne"? In ogni caso, è sufficiente moltiplicare da ambo i lati per l'inversa della matrice che ha per righe la seconda base.

[compa90]

Ciao con compatibile, intendo che sia delle dimensioni giuste per poter eseguire il prodotto righe per colonne, cioè la matrice sia di dimensione $(n,m)$ dove $n$ indica il numero di colonne, e $m$ quello delle righe.
Non l'ho detto io, l'ho letto studiando la rappresentazione in forma matriciale di un'applicazione lineare, infatti, questa parte che ho riportato è la parte conclusiva, spero che questo non sia stato un errore.

Ti trovi adesso ?

[megas_archon]

Sì, adesso ho capito.

[compa90]

Come faccio a stabilire che la matrice sia inversa, e se lo sia devo moltiplicare per l'inversa destra di $A$ ?

[megas_archon]

Come faccio a stabilire che la matrice sia inversa, e se lo sia devo moltiplicare per l'inversa destra di $A$ ?

Come fa $A$ a essere invertibile se non è quadrata? Invece, la matrice di una base lo è sempre, ovviamente.