Stavo studiando le isometrie di spazi affini euclidei $E_n$ ovvero affinità la cui parte lineare è un'isometria lineare (o trasformazione ortogonale).
Mi si portano alcuni esempi di isometrie come casi particolari di affinità inerenti a spazi affini $A_n$.
Ad esempio le traslazioni $tau$ hanno come parte lineare l'applicazione identità $i_V$ che è una isometria lineare.
La simmetria $sigma_C$ di centro $C$ perché ha come parte lineare $-i_V$.
Poi ancora le omotetie $omega_(P_O,lambda)$ sono isometrie a patto che $lambda=+- 1$ ovvero se e solo se $omega_(P_O,lambda)=i_(E_n)$ oppure $omega_(P_O,lambda)=sigma_(P_O)$
Se $phi:E_n->E_n$ è un'isometria con parte lineare una trasformazione ortogonale allora $phi$ conserva gli angoli tra rette.
Poi fa questa osservazione: le omotetie hanno la proprietà di conservare gli angoli tra rette.
Siano $r=S(A,<u>)$ e $s=S(B,<v>)$ due rette passanti per i rispettivi punti e con le relative giaciture.
Consideriamo l'omotetia $\phi=omega_(P_O,lambda)$ allora
$phi(r)=S(phi(A),<lambda*u>)=S(phi(A),<u>)$
$phi(s)=S(phi(B),<lambda*v>)=S(phi(B),<v>)$
Si noti che $r ||phi(r)$ e $s||phi(s)$. Inoltre se $P_O\in s$ allora $P_O=\phi(P_O)\in phi(s)$ allora $s=phi(s)$
E conclude con il seguente esempio di cui però devo caricarvi la foto perché non so come fare altrimenti.
E mi scrive che $phi=omega_(P_O,2)$ ovvero $lambda=2$.
Ma allora $phi$ non è un'isometria ?? Non credo sia un'osservazione generica per tutti i tipi di affinità perché il concetto di angolo è inerente ai soli spazi euclidei, no?
Le isometrie conservano le distanze e qui non accade. Allora l'osservazione è inerente alle affinità su spazi affini non euclidei. Ma gli angoli allora?
E' un errore? Tra l'altro almeno per quanto riguarda gli spazi affini, se $lambda !=1$ allora dovrei avere un unico punto unito ovvero $P_O$. Invece qui ho un intero sottospazio di punti uniti.
Mi sfugge qualcosa?
Vi ringrazio in anticipo. Chiedo scusa per l'introduzione inutilmente lunga, non volevo dare nulla per scontato nelle notazioni.
P.S.: se sapete come posso ovviare all'immagine, procedo.