Le omotetie conservano gli angoli tra le rette

[paolo1712]

Stavo studiando le isometrie di spazi affini euclidei $E_n$ ovvero affinità la cui parte lineare è un'isometria lineare (o trasformazione ortogonale).
Mi si portano alcuni esempi di isometrie come casi particolari di affinità inerenti a spazi affini $A_n$.
Ad esempio le traslazioni $tau$ hanno come parte lineare l'applicazione identità $i_V$ che è una isometria lineare.
La simmetria $sigma_C$ di centro $C$ perché ha come parte lineare $-i_V$.
Poi ancora le omotetie $omega_(P_O,lambda)$ sono isometrie a patto che $lambda=+- 1$ ovvero se e solo se $omega_(P_O,lambda)=i_(E_n)$ oppure $omega_(P_O,lambda)=sigma_(P_O)$

Se $phi:E_n->E_n$ è un'isometria con parte lineare una trasformazione ortogonale allora $phi$ conserva gli angoli tra rette.

Poi fa questa osservazione: le omotetie hanno la proprietà di conservare gli angoli tra rette.
Siano $r=S(A,<u>)$ e $s=S(B,<v>)$ due rette passanti per i rispettivi punti e con le relative giaciture.
Consideriamo l'omotetia $\phi=omega_(P_O,lambda)$ allora
$phi(r)=S(phi(A),<lambda*u>)=S(phi(A),<u>)$
$phi(s)=S(phi(B),<lambda*v>)=S(phi(B),<v>)$
Si noti che $r ||phi(r)$ e $s||phi(s)$. Inoltre se $P_O\in s$ allora $P_O=\phi(P_O)\in phi(s)$ allora $s=phi(s)$

E conclude con il seguente esempio di cui però devo caricarvi la foto perché non so come fare altrimenti.


E mi scrive che $phi=omega_(P_O,2)$ ovvero $lambda=2$.
Ma allora $phi$ non è un'isometria ?? Non credo sia un'osservazione generica per tutti i tipi di affinità perché il concetto di angolo è inerente ai soli spazi euclidei, no?
Le isometrie conservano le distanze e qui non accade. Allora l'osservazione è inerente alle affinità su spazi affini non euclidei. Ma gli angoli allora?
E' un errore? Tra l'altro almeno per quanto riguarda gli spazi affini, se $lambda !=1$ allora dovrei avere un unico punto unito ovvero $P_O$. Invece qui ho un intero sottospazio di punti uniti.

Mi sfugge qualcosa?

Vi ringrazio in anticipo. Chiedo scusa per l'introduzione inutilmente lunga, non volevo dare nulla per scontato nelle notazioni.

P.S.: se sapete come posso ovviare all'immagine, procedo.

[megas_archon]

Il titolo della tua domanda dice: le omotetie preservano gli angoli. Sembri però poi voler sapere perché le isometrie (che sono, come hai già notato tu, particolari omotetie) lo fanno. Decidi cosa vuoi sapere!

Le omotetie preservano gli angoli: un'omotetia essendo definita come un automorfismo \(\varphi\) di $E_n$ tale che esista un \(\alpha\in\mathbb R_{>0}\) per cui \(\|\varphi(x)\| = \alpha \|x\|\) per ogni \(x\in E_n\), la tesi segue dalla maniera in cui l'angolo è definito in uno spazio euclideo \((E_n,\_\cdot\_)\) reale usando il suo prodotto scalare, ossia come \(\arccos\frac{x\cdot y}{\|x\|\|y\|}\). Dalla disuguaglianza di Cauchy-Schwarz infatti l'argomento di \(\arccos(x):=\int_x^1 \frac 1{\sqrt{1-t^2}}dt\) è sempre contenuto nell'intervallo \([-1,1]\).

Le isometrie fanno altrettanto, in quanto particolari omotetie.

[paolo1712]

Hai ragione, perdonami.
Io ho studiato le omotetie in merito agli spazi affini (centroaffinità). Le uniche che fanno eccezione sono quelle con fattore $1$ tale per cui risultano isometrie.
In generale però come fanno le omotetie a conservare gli angoli, se il concetto di angolo non è definito sugli spazi affini?

Edit. Mi mancava un dettaglio. Credevo che le isometrie fossero l'equivalente delle affinità degli spazi affini però su spazi euclidei. Invece sono casi particolari di affinità definite su spazi euclidei. Dunque si parla di omotetie definite su spazi vettoriali euclidei.
Ora ha senso tutto.
Ti chiedo scusa per la perdita di tempo.