Ogni isometria inversa priva di punti uniti è una glissoriflessione

[paolo1712]

Ho un po' di difficoltà con la dimostrazione di questa proposizione.
Ogni isometria inversa di $E_2$ (spazio affine euclideo) priva di punti uniti (si dice che $P$ è un punto unito per l'affinità $phi$ se $phi(P)=P$) è una glissoriflessione.

Dimostrazione
Sia $phi:E_2->E_2$ un'isometria inversa priva di punti uniti.
Sia $R(O,B)$ riferimento cartesiano.
L'isometria $phi$ ha equazione $phi:X'=AX+b$ con $A=( ( cos(theta) , sin(theta)), (sen(theta) , -cos(theta) ) ), theta\in[0,2pi)$
$phi^2$ è isometria di equazione $phi^2:X'=A(AX+b)+b=A^2X+Ab+b$ con $A^2=I_2$ dunque $X'=X+Ab+b$.
$phi^2$ è dunque una traslazione di vettore v di componenti $Ab+b$. Verifichiamo che $Ab+b!=0$.
Se fosse $Ab+b=0", "A(b/2)+b=Ab/2+b=-b/2+b=b/2$ allora $b/2$ è soluzione del sistema $X=AX+b$ allora $phi$ ammette un punto unito e ciò è assurdo.


Perché $Ab/2=-b/2$?
Qual è la relazione che intercorre tra $X=AX+b$ e $phi:X'=AX+b$?.Cioè perché il fatto che il primo sistema ammetta soluzioni mi permette di concludere qualcosa per $phi$ ?


Continua. Sia $w$ il vettore di componenti $(Ab+b)/2!=0$ e consideriamo la traslazione $t_w$.
$(t^-1)_w=t_(-w)$.
Proviamo che $psi:=t_(-w)@phi$ ($rArr phi=t_w@psi$)
Provo che $psi$ è una riflessione rispetto a una retta $r$ di giacitura generata da $w$ ($rArr phi=t_w@psi$ è una glissoriflessione)
$psi$ è isometria perché composizione di isometrie. $psi$ ha la stessa parte lineare di $phi$ pertanto è isometria inversa. Questa affermazione segue dal fatto che la traslazione ha parte lineare uguale a all'identità?
Verifichiamo che $psi$ ammette almeno un punto unito.
$psi=t_(-w)@phi:X'=AX+b-(Ab+b)/2=AX-(Ab-b)/2$. Ancora, $b/2$risolve il sistema $X=AX-(Ab-b)/2$ allora $psi$ ammette almeno un punto unito quindi $psi$ è una riflessione rispetto a una retta.

Caso analogo alla domanda di prima

Infine, per provare che $psi$ è una riflessione rispetto a una retta di giacitura generata da $w$ di componenti $(Ab+b)/2$, è sufficiente verificare che $w$ è autovettore della parte lineare di $psi$ con autovalore $1$:
$A*(Ab+b)/2=A^2b/2+Ab/2=b/2+Ab/2=(Ab+b)/2$

Anche qui mi sfugge qualcosa. Ha dimostrato che $L(w)=A*w=1*w$ con $L$ parte lineare di $psi$ però perché dimostrare che è un autovettore con autovalore $1$ conclude la dimostrazione?

Vi ringrazio per l'aiuto!

[megas_archon]

Perché $Ab/2=-b/2$?

Perché $b$ è un elemento dell'autospazio di -1 di $A$. Che è un sottospazio vettoriale.

[paolo1712]

Gli autovalori associati ad $A$ sono $-1$ e $1$, perché $b$ è un elemento dell'autospazio di $-1$ e non di $1$?

[megas_archon]

Gli autovalori associati ad $A$ sono $-1$ e $1$, perché $b$ è un elemento dell'autospazio di $-1$ e non di $1$?

Beh, ma perché \(Ab+b=0\) se e solo se \(Ab=-b\)...

[paolo1712]

giusto...
Invece per quanto riguarda la parte finale, $psi$ è una riflessione rispetto all'iperpiano $r$ e devo dimostrare che la giacitura di $r$ è $<w>$. Perché per farlo devo dimostrare che $w\inV_1$?

[megas_archon]

I punti fissi di una mappa lineare sono, tautologicamente, gli autovettori dell'autospazio di 1.

[paolo1712]

Ok quindi ho dimostrato che ammette almeno un punto fisso, ora devo dimostrare che esiste un insieme di punti fissi che coincide con la retta $r$ ovvero $Fix(psi):={P\in E_n|psi(P)=P}$ la cui giacitura è l'autospazio relativo a 1?