Matrici Ortogonali e Teorema Spettrale reale

[Lebesgue]

Salve a tutti. Affrontando un esercizio mi è sorto un dubbio sul teorema spettrale reale:
consideriamo la matrice simmetrica $A =$ \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}.

Essendo una matrice simmetrica reale, è diagonalizzabile su $\R^n$ con il prodotto scalare standard.
In particolare, i suoi autovalori sono $\lambda = 0, \lambda = 2$ con relativi autovettori $v_0 = (1,1)$ e $v_2 = (-1,1)$.

Scrivendo la matrice diagonale $D$ come $D = P^{-1}AP$, la matrice di passaggio dalla base canonica alla base di autovettori è $P = $ \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.

Ora, questa matrice $P$ dovrebbe essere ortogonale, tuttavia facendo $PP^t = 2I$ viene 2 volte l'identità.
Cosa mi sfugge?? Devo per forza avere una base ortonormale (e non solo ortogonale) di autovettori, affinchè $P$ sia ortogonale?

[Quinzio]

Ora, questa matrice $P$ dovrebbe essere ortogonale, tuttavia facendo $PP^t = 2I$ viene 2 volte l'identità.
Cosa mi sfugge?? Devo per forza avere una base ortonormale (e non solo ortogonale) di autovettori, affinchè $P$ sia ortogonale?

Per avere $PP^t = I$ deve essere ortonormale.

[Lebesgue]

Perfetto, allora è la mia memoria che è fallata. Grazie!

[Quinzio]

Perfetto, allora è la mia memoria che è fallata. Grazie!

Eh... ma non sei l'unico.

Per convincerti facilmente che e' cosi' (e per tenerlo a memoria facilmente), poni $P = 2I$, da cui $P^T = P = 2I$,
quindi $PP^T = PP = 4I \ne I$.

Se invece $P = I$ (ortonormale), allora $PP^T = I$.