Spazi affini euclidei e prodotto scalare

[paolo1712]

Avrei una domanda inerente agli spazi affini euclidei. In particolare riguardo questa affermazione:

Sia $En(V,\RR,g,f)$ spazio affine euclideo (g prodotto scalare su $V$). Sia un riferimento cartesiano $R(O,B)$, con B base ortonormale di $V$. Siano due rette $r=S(A,<v>)$ e $s=S(B,<w>)$ con $v=sum(lambda_i*e_i)$ e $w=sum (lambda'_i*e_i)$. Allora i due angoli convessi formati dalla due rette $r$ e $s$ sono i due angoli supplementari t.c. $cos theta=+- g(v,w)/(||v||*||w||)=+-(lamda_1lambda'_1+...+lambda_nlambda'_n)/(sqrt((lambda_1)^2+...+(lambda_n)^2)*sqrt((lambda'_1)^2+...+(lambda'_n)^2)$

Questa uguaglianza a me pare vera solo per il prodotto scalare standard. Io so che su uno spazio vettoriale si possono costruire infiniti prodotti scalari è che ogni spazio euclideo è spazio affine rispetto a se stesso.
Gli appunti presentano varie osservazioni inerenti a scritture alternative tutte simili a quella scritta sopra.
Come ad esempio definire la distanza tra due punti $d(P,Q)=||vec(PQ)||=sqrt(sum(y_i-x_i)^2)$

Posso concludere che sono semplici esempi e non vere in generale per ogni spazio affine euclideo? O ho inteso male e gli spazi affini euclidei si costruiscono solo sul prodotto scalare standard?

Grazie per l'aiuto!

[j18eos]

\(B\) è una base ortonormale di \(\mathbb{V}\) rispetto al prodotto scalare \(g\)... pensaci un attimo!

[paolo1712]

Giusto. In riferimento ad una base ortonormale, il prodotto scalare tra due vettori $x$ e $y$ è dato da $X^t *Y$, rispettivamente i vettori colonna delle componenti.
Panico/rimbambimento da pre-esame
Grazie!