Dimostrazione teorema spettrale per matrici

[paolo1712]

Potreste dirmi se la seguente dimostrazione è valida? Le uniche che trovo su internet sono inerenti agli endomorfismi autoaggiunti (che so essere equivalenti se si scelgono basi ortonormali).

Devo dimostrare che :
1) Sia $A$, una matrice simmetrica, allora $A$ è diagonalizzabile.
2) Sia $A$ simmetrica allora è diagonalizzabile mediante una matrice ortogonale.
3) Sia $A$ diagonalizzabile e se esiste $Q$ ortogonale tale che $Q^T*A*Q=D$, $D$ diagonale, allora A è simmetrica.

Dimostrazione
1) Sia $A$ una matrice simmetrica associato ad endomorfismo $f$ rispetto ad una base ortonormale $B$, dunque $f$ è autoaggiunto. Allora esiste una base $B'$ ortonormale formata da autovettori, dunque $f$ è diagonalizzabile ovvero la matrice $D$ associata a $f$ rispetto a $B'$ è diagonale. Poiché le matrici di un endomorfismo rispetto a basi diverse sono tutte simili allora A è diagonalizzabile ovvero esiste una matrice $P$ (matrice di passaggio da B a B') t.c. $P^-1*A*P=D$. Inoltre poiché la matrice di passaggio tra due basi ortonormali è ortogonale, ho dimostrato anche 2).

3)Poiché $Q^T*A*Q=D$ allora $A=Q*D*Q^T$ e quindi $A^T=(Q*D*Q^T)^T=Q*D*Q^T=A$ In quanto $D^T=D$

I miei dubbi sono inerenti alla dimostrazione del punto 1) in quanto ho usato praticamente il teorema spettrale inerente agli endomorfismi autoaggiunti e quindi credo sia errato. Si può giungere alla conclusione in maniera più semplice?

Grazie mille!

[megas_archon]

La cosa che devi dimostrare è essenzialmente il teorema spettrale, sebbene ci siano dei modi di dimostrare solo questo pezzo (simmetrica \(\Rightarrow\) diagonalizzabile).

Tra l'altro, su quale campo stai prendendo gli spazi vettoriali?

[paolo1712]

Reale, non credevo si potesse definire il teorema per campi complessi.
Posso concludere che la dimostrazione è sbagliata?

[dissonance]

non credevo si potesse definire il teorema

Enunciare il teorema (i teoremi non si definiscono, si enunciano e poi si dimostrano).

[paolo1712]

:S mi suonava calzante. Grazie per la correzione!