Definizione derivata di Lie

[papàcastoro]

Ciao, ho un problema con un concetto di questa definizione:

Sia X un campo vettoriale su M e $ϕ_t$ il suo flusso. Sia $Y$ un secondo campo vettoriale e $ϕ_t(Y )$ la curva di campi vettoriali determinata applicando il flusso. La derivata di Lie del campo Y nella direzione X `e il campo
vettoriale su M dato da
$L_X Y (p) := − (d/(dt))_(|t=0)ϕ_t(Y )(p)$

Non capisco bene la definizione perché non riesco a capire cosa si intenda per curva di campi vettoriali. Se quello è il flusso, in sostanza $ϕ_t$ è la mia curva integrale e in quanto curva ha un dominio da dove pesco un punto p e mi permette di scrivere $ϕ_t(p)$

Ma se scrivo $ϕ_t(Y )$, essendo Y un campo vettoriale non dovrebbe stare nell'insieme dei campi vettoriali sulla varietà M: $X (M )$? Quindi non capisco cosa mi stia a significafre quella $ϕ_t(Y )$. Vi chiedo un aiuto.

[dissonance]

Non credo sia quella la definizione di \(\phi_t(Y)\). Molto più probabilmente, quando scrivi \(p(t)=\phi_t(Y)(p_0)\) intendi che \(p=p(t)\) è una curva, soluzione del problema di Cauchy \[\dot p= Y_p,\ p(0)=p_0\]

[papàcastoro]

Mi sa che non ho ben capito la tua spiegazione devi perdonarmi.
il prof scrive "Sia Y un secondo campo vettoriale e $ϕ_t(Y)$ la curva di campi vettoriali determinata applicando il flusso".

Tu stai dicendo che p(t) è soluzione del probelma di C. che hai indicato e va bene.
ma non capisco comunque $ϕ_t(Y)(p_0)$ cosa sia per te. NOn ho proprio capito

[Indrjo Dedej]

Non c'è un pullback? Mi sembra che è quello che non stai capendo. Dove stai studiando?

[papàcastoro]

Stavo seguendo le 500 pagine di dispense del Prof. che è il suo libro embrionale che pubblicherà.
Sono in realtà ancora alla ricerca di un secondo testo di riferimento, ho il Do Carmo per la parte più intuitiva.