Ciao, ho un problema con un concetto di questa definizione:
Sia X un campo vettoriale su M e $ϕ_t$ il suo flusso. Sia $Y$ un secondo campo vettoriale e $ϕ_t(Y )$ la curva di campi vettoriali determinata applicando il flusso. La derivata di Lie del campo Y nella direzione X `e il campo
vettoriale su M dato da
$L_X Y (p) := − (d/(dt))_(|t=0)ϕ_t(Y )(p)$
Non capisco bene la definizione perché non riesco a capire cosa si intenda per curva di campi vettoriali. Se quello è il flusso, in sostanza $ϕ_t$ è la mia curva integrale e in quanto curva ha un dominio da dove pesco un punto p e mi permette di scrivere $ϕ_t(p)$
Ma se scrivo $ϕ_t(Y )$, essendo Y un campo vettoriale non dovrebbe stare nell'insieme dei campi vettoriali sulla varietà M: $X (M )$? Quindi non capisco cosa mi stia a significafre quella $ϕ_t(Y )$. Vi chiedo un aiuto.