equivalenza di C. T. Yang chiusura insiemi A'

[Cannone Speciale]

Sul libro General Topology di John Kelley a pagina 56 nell'esercizio D punto c veniva chiesto di dimostrare che in uno spazio $T_1$ l'insieme dei punti di accumulazione di un qualsiasi insieme è chiuso, subito dopo viene detto "A sharper result (C. T. Yang): A necessary and sufficient condition that the set of accumulation points of each subset be closed is that the set of accumulation points of ${x}$ be closed for each $x$ in $X$". Io ho cercato un pochino su internet ma ho trovato solo cose di topologia fuzzy che non sapevo neanche esistesse. Qualcuno conosce questo risultato o sa dirmi dove posso cercarlo? Io non sono avvezzo di articoli scientifici e non so dove cercarli.

[otta96]

Non l'ho trovato granchè.

[Cannone Speciale]

Non hai trovato granchè il risultato in se?

[otta96]

No, non ho trovato granchè da una ricerca che ho provato a fare di questo risultato.

[megas_archon]

Credo che venga attribuito a Yang quello che ad oggi è poco più di un esercizio, e che siano state studiate alcune sue generalizzazioni a framework di topologia diversi da quello standard (come la topologia senza punti).

[Cannone Speciale]

grazie a entrambi

[Cannone Speciale]

Ciao, credo di essere riuscito a dimostrarlo, se qualcuno mi dicesse se è tutto corretto sarebbe meglio, perché mi è sembra che sia una dimostrazione troppo corta.
Devo dimostrare che ${x}'$ è chiuso $hArr A' $ è chiuso dove $A$ è un qualunque sottoinsieme e ' è l'operatore che fornisce l'insieme dei punti di accumulazione.
Chiaramente la seconda implica la prima.
Passo alla dimostrazione che ${x}'$ è chiuso $rArr A' $:
basta dimostrare che $(A')^c$ è aperto, sia quindi $ x in (A')^c$ allora $EE$ un aperto $U_x$, con $x in U_x$ t.c. $ (U_x \\ {x}) nn A = O/ $, definisco $V_x= ({x}')^c nn U_x $ che è intersezione di due aperti (il primo per ipotesi). Si nota che $({x}')^c$ contiene $x$ perché $x$ non è di accumulazione per l'insieme ${x}$ per definizione di punto di accumulazione.

Se esistesse $y in U_x$ che è anche di accumulazione per $A$ allora $y in {x}'$ altrimenti se $y$ non fosse di accumulazione per ${x}$ allora esisterebbe un aperto $W_y$ tale che $W_y nn {x} = O/$ e quindi $W_y nn U_x$ sarebbe un aperto che non interseca $A$ e $y$ non sarebbe di accumulazione per $A$.

Quindi $V_x$ è un aperto che contiene $x$ e non contiene punti di accumulazione di $A$ perché gli unici punti di accumulazione di $A$ che può contenere $U_x$ sono i punti di accumulazione di ${x}$ che però non sono contenuti in $({x}')^c$.

Quindi l'unione di questi aperti $V_x AA x in (A')^c$ è aperta quindi $A'$ è chiuso.

[otta96]

È giusto, alla fine aveva ragione megas_archon, ci avevo pensato anche io ma mi sembrava un po' strano che si ricordasse con un nome un risultato così semplice da dimostrare che non facesse parte delle cose molto note.

[Cannone Speciale]

Eh infatti, ora che l'ho risolto pare strano anche a me. Grazie