Sulla definizione di intorno di flusso

[marco2132k]

Sia \( M \) una varietà e sia \( X \) un campo vettoriale su \( M \). Dato \( m\in M \) un intorno di flusso in \( m \) è una tripla \( (U,\epsilon,\Phi) \) dove:
1. \( m\in U\subset M \) è un aperto e \( \epsilon > 0 \) o \( \epsilon = +\infty \);
2. \( \Phi\colon \left]-\epsilon,\epsilon\right[\times U\to M \) è una mappa \( \mathscr C^\infty \);
3. per ogni \( m^\prime\in U \), la mappa \( t\mapsto \Phi_t(m) = \Phi(t,m) \) è una curva integrale di \( X \) in \( m \);
4. per ogni \( t\in \left]-\epsilon,\epsilon\right[ \) l'insieme \( \Phi_t(U) = \{\Phi_t(m^\prime) : m^\prime\in U\} \) è un aperto di \( M \) e la mappa \( m^\prime\mapsto \Phi_t(m^\prime) \) è un diffeo.

Perché serve richiedere anche la 4.? Usando solo 1. 2. e 3. e il fatto che l'insieme \( \Phi_t(U) \) è aperto si può dimostrare che se \( U\cap \Phi_t(U)\neq \emptyset \) allora
\[
\Phi_t\colon U\cap \Phi_{-t}(U)\to U\cap \Phi_{t}(U)
\] è diffeo. Non è abbastanza di solito?

Bonus: si può dimostrare che \( \Phi_t(U) \) è aperto usando solo 1. 2. e 3.?